Lineare Abbildungen wohldefiniert?

09.12.2013, 12:01	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen wohldefiniert? Habe eine kurze Frage. Haben lineare Abbildungen die Eigenschaft, dass sie immer wohldefiniert sind? Und könnte mir einer Bitte schnell alle Eigenschaften einer linearen Abbildung aufzählen. Bitte keine Links. Danke LG
09.12.2013, 12:32	LP 43	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff Abbildung beinhaltet den Begriff Wohldefniertheit. Jede einzelne Abbildung (ob nun linear oder nicht) ist eine wohldefinierte Abbildung. Manchmal muss man die Wohldefiniertheit zeigen, also zeigen, dass es sich wirklich um eine Abbildung handelt. Daher ist die Definition von Abbildung sehr wichtig. Zum Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}_{<0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x):=x^2 \end{eqnarray}$ . Diese Abbildung ist offensichtlich nicht wohldefiniert, weil sie gar keine Abbildung definiert, da $\begin{eqnarray} x^2\ge 0 \end{eqnarray}$ Oder Sei $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ ein Faktorraum und $\begin{eqnarray} \alpha \colon V/U \longrightarrow V \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \alpha(v+U):=v \end{eqnarray}$ . Wenn hier $\begin{eqnarray} v+U=v'+U \end{eqnarray}$ , gilt dann $\begin{eqnarray} \alpha(v+U)=\alpha(v'+U) \end{eqnarray}$ ? Im Algemeinen natürlich nicht, da aus $\begin{eqnarray} v+U=v'+U \end{eqnarray}$ nicht immer $\begin{eqnarray} v=v' \end{eqnarray}$ folgt. Wenn wir jedoch eine Abbildung definieren wollen, müssten aber diese Bilder doch gleich sein; sind sie aber nicht und daher ist es nicht wohldefiniert und keine Abbildung. Lineare Abbildung meint doch nur, dass es verträglich ist mit den Verknüpfungen der Vektorräume. Soll heißen, es ist scheiß egal, ob du erst verknüpfst und dann abbildest oder erst abbildest und dann verknüpfst. $\begin{eqnarray} \alpha \colon V \longrightarrow V' \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} \alpha(v_1+\lambda v_2)=\alpha(v_1)+\lambda\alpha(v_2) \end{eqnarray}$
09.12.2013, 13:12	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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