Konvergenz einer Reihe - Majorantenkriterium

09.12.2013, 16:39

martinio

Konvergenz einer Reihe - Majorantenkriterium

"Benutzen Sie das Majorantenkriterium um zu zeigen, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ konvergiert!"

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} a_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

Gemäß des Majorantenkriterium muss es zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n_0 \geq 0} a_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Majorante $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n_0 \geq 0} b_n \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n_0 \geq 0} a_n \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Eine Reihe $\begin{eqnarray*} T_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} b_n \end{eqnarray*}$ heißt Majorante der Reihe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} | a_n | \leq b_n \end{eqnarray*}$ gitl ( $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ).

Ich bin daher auf der Suche nach einer solchen Reihe $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ , deren Folgenglieder $\begin{eqnarray*} | a_n | \leq b_n \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Sei $\begin{eqnarray*} T_n =\sum\limits_{n_0 \geq 0} b_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} \frac{1}{\frac{n!}{2} } \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{\frac{n!}{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } T_n = 0 \end{eqnarray*}$ - so müsste der "Plan" aufgehen, oder?

Wäre dies für Euch eine adequate Wahl, oder gibt es eine einfachere/bessere ?

09.12.2013, 17:08

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RE: Konvergenz einer Reihe - Majorantenkriterium
Wende deine Argumentation mal auf die harmonische Reihe, also a_n=1/n an.
Die würde demnach also auch konvergieren - was sie bekanntlich nicht tut.

Du hast die wesentliche Eigenschaft der Majorante vergessen

09.12.2013, 17:15

HAL 9000

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Zudem liegt der Sinn einer Majorantenbetrachtung darin, eine Majorante zu wählen, deren Reihenkonvergenzverhalten man kennt. Insofern ist die "Wahl" (?!)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{\frac{n!}{2}} = \frac{2}{n!} \end{eqnarray*}$

ein Zirkelschluss reinsten Wassers. Augenzwinkern

09.12.2013, 17:17

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das wäre der zweite Streich gewesen Big Laugh

09.12.2013, 20:06

martinio

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Also muss ich mich zunächst an einer Reihe orientieren (daher Wahl), von der ich sicher weiß, dass sie konvergiert und kann dann durch den Vergleich mit meiner eigentlichen Reihe auf deren Konvergenz schließen und eine Aussage treffen kann, dass sie konvergiert oder divergiert.

10.12.2013, 09:25

klarsoweit

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Genau. Wenn du Konvergenz zeigen willst, brauchst du eine Majorante, die konvergiert, wenn du Divergenz zeigen willst, brauchst du eine Minorante, die divergiert. smile

10.12.2013, 12:26

martinio

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Alles klar, aber woher bekomme ich dann eine Reihe $\begin{eqnarray*} T_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} b_n \end{eqnarray*}$ von der ich weiß, dass sie konvergiert und für die gilt, dass $\begin{eqnarray*} | a_n | \leq b_n \end{eqnarray*}$ ?

Die eigentliche Aufgabe beschreibt, dass ich das Majorantenkriterium nutzen soll, um zu zeigen, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Anhand von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq a \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ soll nun ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gefunden werden, für das $\begin{eqnarray*} | a_n | \leq b_n \end{eqnarray*}$ gilt und man eine Aussage über die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ treffen kann.

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n!} \geq 0 \quad \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n = a \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{a}{2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | a_n | \leq b_n \Leftrightarrow a_n \leq b_n \Leftrightarrow \frac{1}{n!} \leq \frac{a}{2^n} \Leftrightarrow \frac{2^{n}}{n!} \leq a \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a = \frac{3^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ ist die Ungleichung auf jeden Fall erfüllt , auch natürlich auch für $\begin{eqnarray*} a = \frac{4^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ usw. . Forme daher um
$\begin{eqnarray*} c = \frac{a^{n}}{n!} \quad a \geq 2 \end{eqnarray*}$

Dann ist noch zz. , dass $\begin{eqnarray*} T_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} b_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} = \frac{a^{n}}{n!} \quad a \geq 2 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{n \geq 0 \quad a\geq 2}\frac{a^{n}}{n!} = \exp(a) \end{eqnarray*}$

Und somit konvergiert auch $\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

10.12.2013, 12:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von martinio
Anhand von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq a \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ soll nun ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gefunden werden, für das $\begin{eqnarray*} | a_n | \leq b_n \end{eqnarray*}$ gilt und man eine Aussage über die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ treffen kann.

Ja genau, es ist lediglich so ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu finden. Das Ziel deiner folgenden umfänglichen Umformungen und Betrachtungen ist für mich nicht gerade sehr deutlich erkennbar - warum nicht einfach

$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot \underbrace{2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}_{(n-1)~\mbox{Faktoren}} \geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

abschätzen, umgeformt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

10.12.2013, 13:04

martinio

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Hallo HAL,

die Abschätzung verstehe ich leider nicht so recht, evtl. musst du mir das nochmal erklären.
Was ich verstehe:

$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot \underbrace{2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}_{(n-1)~\mbox{Faktoren}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^{n}= \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}_{n~\mbox{Faktoren}} \quad = \quad 2 \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}_{(n-1)~\mbox{Faktoren}} \quad = \quad 2 \cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

Deine Abschätzung: verstanden!
$\begin{eqnarray*} n! \geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

Aber die Abschätzung müsste doch dann sein, ob $\begin{eqnarray*} n! \geq 2^{n} \Leftrightarrow n! \geq 2 \cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ ?

Und das ist für das Beispiel $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt: $\begin{eqnarray*} 3! = 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$ .

Oder muss ich nun den Term durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so anpassen, dass dies gerade erfüllt ist?

10.12.2013, 13:34

HAL 9000

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Meine Abschätzung lautet $\begin{eqnarray*} n! \geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ , NICHT $\begin{eqnarray*} n!\geq 2^n \end{eqnarray*}$ !!! Forum Kloppe

Wieso kommst du vollkommen grundlos mit letzterem an??? unglücklich

Und ja, der korrigierende Faktor landet im $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

10.12.2013, 13:49

martinio

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Grundlos?

Ich soll doch wohl ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ finden, dass die Ungleichung erfüllt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq \frac{a}{2^n} \end{eqnarray*}$

und damit deine Abschätzung $\begin{eqnarray*} n! \geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ da irgendwie rein passt, müsste ich doch $\begin{eqnarray*} 2^{n} = 2 \cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ umformen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq \frac{a}{2^n} \Leftrightarrow \frac{1}{n!} \leq \frac{a}{2 \cdot 2^{n-1}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ .

Erfüllt für $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$

10.12.2013, 14:52

Grautvornix

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Zitat:

Original von martinio
Ich soll doch wohl ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ finden, dass die Ungleichung erfüllt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq \frac{a}{2^n} \end{eqnarray*}$

Hmh,

... diese Ungleichung gilt für jedes $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ jeweils ab einem $\begin{eqnarray*} n_a\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_a. \end{eqnarray*}$

Nach der Abschätzung, die HAL Dir gegeben hat, ist es also nicht so ganz leicht nachzuvollziehen wo's denn nun noch klemmt.
Bevor Du mit irgendwelchen Rechnereien loslegst solltest du dir mal gründlich klar machen was du eigentlich folgern willst.

Übrigens könnte man hier auch betrachten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}=2+\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n!}\leq 2+\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n(n-1)}=3. \end{eqnarray*}$

10.12.2013, 20:20

martinio

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Hallo ihr Beiden!

Grautvornix letzter Beitrag hat mich nochmal zum nachdenken angeregt.

Da ist auch mir nun aufgefallen, dass die Majorante nicht dauerhaft über der eigentlich zu untersuchenden Folge liegen muss , sondern dass die Größer-Gleich-Bedingung erst ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten brauch.

Damit gilt für unendlich viele Werte der Folge $\begin{eqnarray*} \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(b_n\right)_{n \geq n_{a}} \geq \left(a_n\right)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

Und für endlich viele Werte der Folge $\begin{eqnarray*} \left( b_{n}\right) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(b_n\right)_{n < n_{a}} < \left(a_n\right)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

Die Folge $\begin{eqnarray*} b_n = a \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{a}{2^n} \end{eqnarray*}$ ist konvergent und da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \leq \frac{a}{2^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert somit auch die Reihe $\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} a_n = \sum\limits_{n_0 \geq 0} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

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