gleichverteilte Zufallsvariablen subtrahieren und Dichte sowie Verteilungsfunktion bestimmen

09.12.2013, 17:01

rookie

gleichverteilte Zufallsvariablen subtrahieren und Dichte sowie Verteilungsfunktion bestimmen

Meine Frage:
ich habe eine gleichverteilte Zufallsvariable mit e_i~U(-q,q);i element {j,k};
nun möchte ich für e_k-e_j die Verteilungsfunktion un die Dichte bestimmen.

Meine Ideen:
ich gehe davon aus, dass e_k-e_j jetzt über [-2q,2q] eine Dreiecksverteilung hat
wenn ich dies nun berechne ist es ja wie unter wiki (http://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Gleichverteilung)bei Punkt 2.9 doch einfach die Summer der beiden oder? also e_k+e_j

09.12.2013, 17:12

HAL 9000

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Gleichheit vs. gleich verteilt
Es kommt auf die genaue Wortwahl an:

$\begin{eqnarray*} e_k-e_j \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} e_k+e_j \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} e_k-e_j \end{eqnarray*}$ besitzt dieselbe Verteilung wie $\begin{eqnarray*} e_k+e_j \end{eqnarray*}$ , ja. Das liegt einfach daran, dass die Verteilung $\begin{eqnarray*} U(-q,q) \end{eqnarray*}$ bzgl. des Nullpunktes symmetrisch ist, daher besitzt $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ dieselbe Verteilung wie $\begin{eqnarray*} -e_j \end{eqnarray*}$ .

09.12.2013, 17:17

rookie

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RE: Gleichheit vs. gleich verteilt
ok, ja meinte die Verteilung, danke dafür!

wenn ich also nun hingehe und die Verteilungsfunktion bestimme, dann ist das hier doch stetig und hat die Dichte f(x)=1/4q und ist damit gleichverteilt oder nicht

09.12.2013, 17:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von rookie
wenn ich also nun hingehe und die Verteilungsfunktion bestimme, dann ist das hier doch stetig

Richtig.

Zitat:

Original von rookie
und hat die Dichte f(x)=1/4q und ist damit gleichverteilt

Eine Dreieckverteilung auf $\begin{eqnarray*} [-2q,2q] \end{eqnarray*}$ mit Spitze bei 0 ist nicht dasselbe wie die Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} U(-2q,2q) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

09.12.2013, 17:23

rookie

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RE: Gleichheit vs. gleich verteilt
Oder mal das Ganze Problem ich habe die obigen Informationen und möchte nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass P(e_k-e_j<einem Term) also F(einem Term) mit eben e_i~U(-q,q)

Und ab da hänge ich mich irgenwie auf

09.12.2013, 17:43

rookie

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RE: Gleichheit vs. gleich verteilt
F(x)=F(einem Term)={0, für x nicht element [-2q,2q];x/4q+2q für x element [-2q,0];2q-x/4q für x element [0,2q]

f(x)={0;1/4q für x element [-2q,0];-1/4q für x element [0,2q]

aber passt das mit dem Minus für x element [0,2q]?

09.12.2013, 17:47

rookie

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RE: Gleichheit vs. gleich verteilt
bzw. mit der Formel die ich habe bekomme ich auch noch

F(x)=1/2q für x element [0,0]

und in der Aufgabe bekomme ich heraus, dass x=0

jetzt habe ich keinen Plan welchen Term ich verwenden soll

09.12.2013, 18:03

HAL 9000

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Ich erkenne in deinen vielen Formelbrocken leider nicht das geringste Anzeichen für die vorliegendene Dreiecksverteilung. unglücklich

Mit $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ bezeichne ich mal Dichte bzw. Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} e_k,e_j\sim U(-q,q) \end{eqnarray*}$ , und mit $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ entsprechend Dichte bzw. Verteilungsfunktion von den dreiecksverteilten $\begin{eqnarray*} e_k+e_j \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} e_k-e_j \end{eqnarray*}$ bei unabhängigen $\begin{eqnarray*} e_k,e_j \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \begin{cases} \frac{1}{2q} & \;\mbox{für}\, x\in [-q,q] \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_1(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x<-q \\ \frac{x+q}{2q} & \;\mbox{für}\, x\in [-q,q] \\ 1 & \;\mbox{für}\, x>q \end{cases} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = \begin{cases} \frac{2q-|x|}{4q^2} & \;\mbox{für}\, x\in [-2q,2q] \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x<-2q \\ \frac{4q^2+4qx-x|x|}{8q^2} & \;\mbox{für}\, x\in [-2q,2q] \\ 1 & \;\mbox{für}\, x>2q \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

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