Transformationssatz (Dreieck) Doppelintegral

09.12.2013, 17:58	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationssatz (Dreieck) Doppelintegral Meine Frage: Hallo an alle, diese Frage habe ich gestern schon einmal gestellt. Diesmal allerdings mit dem Link zu dem Beitrag, in dem die selbe Aufgabe schon einmal halbwegs gelöst wurde. http://www.matheboard.de/archive/366825/thread.html Leider verstehe ich nicht, wie dort das Ergebnis zustande kam. Es geht um die Berechnung eines Flächenintegrals mittels der Transformationsregel. Und ich verstehe nicht, wie man hier den Transformationssatz anwendet. Näheres steht in der Aufgabenstellung. Meine Ideen: Eine wirkliche Idee habe ich leider nicht, da ich nicht verstehe, wie ich den Transformationssatz hier anwenden soll. Ich sehe, dass sich die x-Koordinate bei dem 2. Dreieck ändert. Von 1 auf 2. Ich hätte vllt. mal das Integral für jedes Dreieck einzeln ausgerechnet. Aber ich weiß nicht, ob das beim Transformationssatz überhaupt geht. Zudem weiß ich nicht, wie die Grenzen dann für das 2. Dreieck aussehen würden. Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn einer mir helfen könnte. Und sorry, dass ich die Aufgabe jetzt zum 2. Mal poste.
09.12.2013, 22:12	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du hast ein Dreieck D als Integrationsbereich. Jetzt sollst du den integrationsbereich mit Hilfe des Transformationssatzes auf das andere Dreieck ändern. Zuerst brauchst du also diese ominöse Funktion, die dieses neue Dreieck auf das alte abbildet. Hilft dir das weiter? lg Stefan
09.12.2013, 23:24	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für den hinweis. Also mit ominöser Funktion meinst du das hier, oder?: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_s^1 \! 8s^{2} + 2t \, dt ds \end{eqnarray}$ Also das habe ich auch verstanden. Nur leider weiß ich nicht, WIE derjenige auf diese Lösung kam. Und vor allem, wie er mithilfe des Transformationssatzes zu dieser Lösung gekommen ist. Oder wurde hier noch gar nicht der Transformationssatz angewendet?
10.12.2013, 00:05	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
mit ominöser funktion mein ich eine Funktion f, sodass: nimm einen Punkt (x,y) der im neuen Dreieck drinnen liegt, dann soll f(x,y) ein Punkt sein, der im alten Dreieck drinnen liegt. Du kannst die Eckpunkte beider Dreiecke vergleichen und darauf schließen, was mit dem Dreieck zu geschehen hat. Dann musst du eine Funktion finden, die das eben macht. Im alten Beitrag war das das phi. Dann kommt die Transformation ins Spiel ...
10.12.2013, 09:45	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
hm...ok. also mit deinem Tipp kam mir auf dem Weg zur Uni folgende Idee: phi(x)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2x\\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon die Jacobimatrix wäre dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und damit die Determinante 2. Wenn wir nun unser x durch 2x ersetzen, wird folglich in der Funktion aus dem $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} (2x)^{2} \end{eqnarray}$ . Das wären dann schon mal $\begin{eqnarray} 4x^{2} \end{eqnarray}$ . Unser y bleibt ja unverändert. Wenn wir dann noch die Funktion mit 2 multiplizieren, hätten wir: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_s^1 \! 8s^{2} + 2t \, dt ds \end{eqnarray}$ wobei hier das s unser x sein soll und t das y Ist dieser Gedankengang richtig?
10.12.2013, 10:40	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
ich nehm mal an, du weißt auch, warum die Integrationsgrenzen konkret so aussehen, wie sie aussehen
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10.12.2013, 12:14	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
ich gehe ja von folgendem aus: erst einmal die Grenze von x, also unserem jetzigen s: von 0 bis 1, da wir ja mit Grenzen des alten Dreiecks, also dem Referenzdreiecks arbeiten und daher x nur bis 1 geht: $\begin{eqnarray} 0\leq s\leq 1 \end{eqnarray}$ Bei den Grenzen für t dachte ich, dass es von s bis 1 geht, weil: $\begin{eqnarray} s\leq t\leq 1 \end{eqnarray}$ nur ene Frage hätte ich noch: wieso kann ich nicht schreiben $\begin{eqnarray} 0\leq t\leq s \end{eqnarray}$ ? ist es so, weil das Dreieck quasi so augebaut ist (jetzt mal salopp ausgedrückt): (0,0)--> x=0, y=0 (1,1)--> x=1 y=1 (0,1)--> x=0 y=1 --> y hat 2 mal den Wert 1 und x nur 1 mal? Ich will nur sichergehen, dass ich es auch richtig verstanden habe. Auf alle Fälle vielen Dank für deine Hilfe. Hat mir wirklich super geholfen
10.12.2013, 12:33	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit den Grenzen passt. Im Zweifelsfall zeichne dir das Dreieck auf. Wähle ein s aus und schau dir die zugehörigen t's an. Dann siehst du, dass für 0<t<s du das Dreieck (0,0) ; (1,1) ; (1,0) erhältst lg

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