Automorphismus zeigen

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09.12.2013, 21:43	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismus zeigen Hallo. Ich weis nicht mehr weiter. Also sei $\begin{eqnarray} T:V \to V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T(e_{i})=e_{i+1,mod 3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V= \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ . Nun die Aufgabe: Zeigen sie, dass T ein Automorphismus $\begin{eqnarray} S : V/U /to V/U \end{eqnarray}$ induziert mit $\begin{eqnarray} S(v+U)= T(v)+U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mit v\in V \end{eqnarray}$ . Also mir ist klar was ein Automorphismus ist, aber mich verwirrt das Wort induziert, und ich weiß einfach nicht wie ich Anfangen soll. Kann mir jemand Helfen?
10.12.2013, 00:05	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Na offensichtlich ist $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein Automorphismus auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ (Ist dir das klar?). Mit diesem Automorphismus kannst du eine Abbildung auf $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ definieren; nämlich grade $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ wohldefiniert und ein Automorphismus ist. Was ist eig $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ? LG
10.12.2013, 00:13	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Jack. Also U:=span {(1,1,1)} Ja,d aß T ein Aut. Auf V ist, ist mir klar. Nun weiß ich nicht, wie ich eine Abbildung auf V/U Bilde und schließlich auf S komme. LG
10.12.2013, 00:26	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ war hier sehr wichtig. Wenn du eine Abbildung von $\begin{eqnarray} V/U:=\{v+U\mid v \in V \} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ definieren willst, dann musst du doch angeben, was mit jedem $\begin{eqnarray} v+U \in V/U \end{eqnarray}$ passiert. Du weißt wie $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ aussiert; weißt also wie $\begin{eqnarray} T(v) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ aussieht. Jetzt wird hier eine Abbildung definiert die ja mit Hilfe von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ gebaut wird (das heißt induzieren). Das heißt, dass Bild von $\begin{eqnarray} v+U \end{eqnarray}$ ist gerade $\begin{eqnarray} T(v)+U \in V/U \end{eqnarray}$ . Somit musst du jetzt nur noch $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ auf Homomorphie und Wohldefiniertheit überprüfen. LG
10.12.2013, 00:33	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Aber wie sieht den T(v) aus? Muss ich dann davon ausgehen, dass v= ei ist?
10.12.2013, 00:44	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Wenn $\begin{eqnarray} v=x e_1+ye_2+ze_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y,z \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , dann ist doch $\begin{eqnarray} T(v)=T(x e_1+ye_2+ze_3 )=xT(e_1)+yT(e_2)+zT(e_3) \end{eqnarray}$ . Was musst du denn zeigen, damit $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ wohldefiniert ist? LG
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10.12.2013, 01:02	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass aus S(v+U)=S(w+U) folgt, dass T(v)+U=T(w)+U ist. Dabei sind v und w Elemente vom Körper V LG
10.12.2013, 01:37	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Vom Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Nein du musst zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray} v+U=w+U \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} T(v)+U=T(w)+U \end{eqnarray}$ . Wirwissen ja schließlich formal gesehn noch nicht das $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ eine Abbildung definiert
10.12.2013, 02:10	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke für deine Hilfe. Ich versuche mir das morgen beizubringen.

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