Fundamental- und Übergangsmatrizen

09.12.2013, 22:15	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamental- und Übergangsmatrizen Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} I \subset\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ein Intervall, $\begin{eqnarray} A:I\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray}$ stetig. Zeige: Eine auf $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ stetige Matrix $\begin{eqnarray} \phi(t) \end{eqnarray}$ ist genau dann Fundamentalmatrix von $\begin{eqnarray} x'=-A(t)^Tx \end{eqnarray}$ , wenn für jede Fundamentalmatrix $\begin{eqnarray} \psi(t) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x'=A(t)x \end{eqnarray}$ eine konstante reguläre Matrix $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \psi(t)^T\phi(t)=C \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\in I \end{eqnarray}$ . Ich habe Probleme mit der Richtung " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ ". Ich würde $\begin{eqnarray} \psi(t)^T\phi(t)=C \end{eqnarray}$ wie folgt umstellen: $\begin{eqnarray} \phi(t)=(\psi(t)^T)^{-1}C \end{eqnarray}$ und dann differenzieren. Die Kettenregel ergibt: $\begin{eqnarray} \phi'(t)=-(\psi(t)^T)^{-2}(A(t)\psi(t))^TC=-(\psi(t)^T)^{-1}A(t)^TC\neq -A(t)^T\phi(t) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} A(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi(t) \end{eqnarray}$ nicht kommutieren müssen... oder doch und ich sehe es nur nicht? Oder gehe ich falsch an die Aufgabe ran?
11.12.2013, 00:13	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner ne Idee?

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