Zwei Limites

09.12.2013, 22:46

kgV

Zwei Limites

Hallo,
eine kurze Frage;
darf ich $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} f(m,n) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty} f(m,n)\right) \end{eqnarray*}$ interpretieren, sprich zuerst den einen Grenzwert berechnen und auf das Ergebnis dann den anderen Limes anwenden?
Das kommt mir irgendwie wie eine teilweise Grenzwertbildung vor...

Danke im Voraus
lg
kgV
Wink

09.12.2013, 22:58

Guppi12

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Hallo,

ich würde es auch so interprätieren.

Hast du mal einen Zusammenhang, in dem das auftaucht?

Edit: im anderen Fall würde ich es eher so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\substack{m\to\infty \\ n\to\infty}}f(m,n) \end{eqnarray*}$

09.12.2013, 23:08

kgV

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Es geht darum, zu prüfen, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\left(\frac{m-1}m\right)^n=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{m-1}m\right)^n \end{eqnarray*}$ gilt.
Mit der Klammerung ist das ein Einzeiler, was mir iwie viel zu einfach erscheint.

Btw: was ist denn bitte ein gleichmäßiger Grenzwert? Weder Google noch mein Skriptum liefern dazu etwas konkret brauchbares...

09.12.2013, 23:20

Guppi12

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In dem Fall ist definitiv das gemeint, was du meintest.

Ein gleichmäßiger Grenzwert ist ein solcher, der durch gleichmäßige Konvergenz entsteht. Man könnte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Funktionenfolge auffassen (Dazu sei für alle $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_m:\mathbb N\to\mathbb R, f_m(n) = f(m,n) \end{eqnarray*}$ definiert, gemeint ist dann die Folge $\begin{eqnarray*} (f_m)_{m\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ).

Dass diese Folge dann gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert, würde bedeuten, dass (ich schreibe mal in Quantoren, daraus kann ich persönlich immer mehr lesen, bei Fragen hake nach) :

$\begin{eqnarray*} \forall_{\epsilon>0}\exists_{m_0\in\mathbb N}\forall_{m\geq m_0}\forall_{n\in\mathbb N} |g(n)-f_m(n)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Ich nehme mal an, dass man daraus eventuell die Vertauschbarkeit der Grenzwerte folgern könnte, das müsste man sich aber noch überlegen.

09.12.2013, 23:28

kgV

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Danke dir inzwischen smile

Das mit gleichmäßiger Konvergenz passt eh gut in unseren Stoff für den Moment hinein. Ich schau mir dann mal an, was ich da in puncto gleichmäßigem GW gebastelt kriege und melde mich dann evtl. noch mal - aber eher erst morgen smile

10.12.2013, 01:19

RavenOnJ

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RE: Zwei Limites

Zitat:

Original von kgV

darf ich $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} f(m,n) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty} f(m,n)\right) \end{eqnarray*}$ interpretieren, sprich zuerst den einen Grenzwert berechnen und auf das Ergebnis dann den anderen Limes anwenden?

Es könnte sein, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(m,n) \end{eqnarray*}$ nicht existiert, obwohl $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} f(m,n) \end{eqnarray*}$ existiert. Deswegen ist das so generell nicht möglich. Als Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(m,n) = \sin(n)\exp(-m) \end{eqnarray*}$

10.12.2013, 09:51

Guppi12

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Würdest du also davon ausgehen, dass man obige Schreibweise als gleichzeitige Ausführung der Limites liest ?

Ich waere nämlich im Normalfall erstmal davon ausgegangen, dass in deinem Beispiel der Doppellimes genau wegen der Hintereinanderausführung dann auch nicht existiert. Die Hintereinanderausführung kam mir auch im Kontext der Aufgabe sinnvoller vor.

Aber ich lasse mich gerne eines besseren belehren, kenne mich mit den Schreibweisen auch noch nicht so gut aus.

10.12.2013, 10:50

kgV

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RE: Zwei Limites
Heißt das dann konkret, dass ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}f(n,m) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} f(k,k) \end{eqnarray*}$ interpretiere, sprich, beide gleichzeitig gegen unendlich gehen lasse? Dann wären linke und rechte Seite aber wohl zu offensichtlich gleich... verwirrt

10.12.2013, 12:12

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12
Würdest du also davon ausgehen, dass man obige Schreibweise als gleichzeitige Ausführung der Limites liest ?

Ich waere nämlich im Normalfall erstmal davon ausgegangen, dass in deinem Beispiel der Doppellimes genau wegen der Hintereinanderausführung dann auch nicht existiert. Die Hintereinanderausführung kam mir auch im Kontext der Aufgabe sinnvoller vor.

Aber ich lasse mich gerne eines besseren belehren, kenne mich mit den Schreibweisen auch noch nicht so gut aus.

Vielleicht ist die Frage der Existenz dieses Doppellimes eher von philosophischer Natur, da der Limes je nach dem Weg, den man beschreitet, existiert oder nicht. Man könnte argumentieren, dass die Exponentialfunktion den Doppellimes trotz Nichtexistenz des Limes des Sinus auf Null zwingt, da ja |f(m,n)| durch die Funktion exp(-m) majorisiert wird. Zumindest ist die Limesbildung in diesem Beispiel nicht vertauschbar.

In der Aufgabe von kgV ist ebenfalls die Vertauschbarkeit nicht gegeben und danach wurde ja eigentlich gefragt.

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