Korrelationskoeffizient/Zufallsgrößen/X+Y+Z=c

10.12.2013, 10:34	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrelationskoeffizient/Zufallsgrößen/X+Y+Z=c Meine Frage: Hallo Leute, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Es seien X,Y und Z identisch verteilte, nicht konstante Zufallsgrößen, für die $\begin{eqnarray} X+Y+Z = c \end{eqnarray}$ gilt, ( $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ). Man zeigen, dass der Korrelationskoeffinzient $\begin{eqnarray} \varrho_{XY} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist. Man formuliere und beweise eine verallgemeinerte Aussage, für mehr als drei Summanden. Meine Ideen: Ich habe mir mal die Def. von $\begin{eqnarray} \varrho_{XY} \end{eqnarray}$ angesehen. Ich habe im Skript stehen: $\begin{eqnarray} -1 \leq \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{VarX \cdot VarY}} \leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{VarX \cdot VarY}} \end{eqnarray}$ heißt Korrelationskoeffizient. Weiterhin weiß ich noch: $\begin{eqnarray} cov(X,Y) = \mathbb E[(X-\mathbb EX)(Y-\mathbb EY)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Var(X) = \mathbb E(X-\mathbb EX)^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} Var(Y) = \mathbb E(Y-\mathbb EY)^2 \end{eqnarray}$ Wenn ich das nun zusammensetzte erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{\mathbb E[(X-\mathbb EX)(Y-\mathbb EY)]}{\sqrt{\mathbb E(X-\mathbb EX)^2 \cdot \mathbb E(Y-\mathbb EY)^2 }} \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt folgendes machen? $\begin{eqnarray} \frac{\mathbb E[(X-\mathbb EX)(Y-\mathbb EY)]}{\sqrt{\mathbb E(X-\mathbb EX)^2 \cdot \mathbb E(Y-\mathbb EY)^2 }} = \frac{\mathbb E[(X-\mathbb EX)(Y-\mathbb EY)]}{\sqrt{(\mathbb E(X-\mathbb EX) \cdot \mathbb E(Y-\mathbb EY))^2 }} = \frac{\mathbb E[(X-\mathbb EX)(Y-\mathbb EY)]}{ \mathbb E(X-\mathbb EX) \cdot \mathbb E(Y-\mathbb EY)} \end{eqnarray}$ jetzt weiß ich aber auch nicht so richtig wie weiter. Irgendwas muss ich ja auch mit dem $\begin{eqnarray} X+Y+Z = c \end{eqnarray}$ anstellen.. DANKE für die Hilfe EDIT: Also ich habe noch folgendes herrausgefunden: Ich habe ja: $\begin{eqnarray} Z + X + Y = c \end{eqnarray}$ was äquivalent zu $\begin{eqnarray} X+Y = c - Z = (-1)Z + c \end{eqnarray}$ ist. Nun gilt aber: $\begin{eqnarray} Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var((-1)Z+c) = Var(Z) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) = Var(Z) \end{eqnarray}$ damit müsste man doch was anfangen können oder?
10.12.2013, 12:10	KA88	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Korrelationskoeffizient/Zufallsgrößen/X+Y+Z=c Überlege dir (anhand der Definition der Varianz über Integrale und anhand deines Wissens über Bildmaße und Integrale), dass unter der Bedingung der identischen Verteiltheit gilt: $\begin{eqnarray} Var(X) = Var(Y) = Var(Z) \end{eqnarray}$
10.12.2013, 12:54	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Korrelationskoeffizient/Zufallsgrößen/X+Y+Z=c Ok, wenn ich das weiß habe ich es! Danke

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