Konvergenz Reihe

10.12.2013, 11:06	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Reihe Hallo Leute, ich bräuchte Eure Hilfe bei dieser Aufgabe: zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {k+(-1)^k}{k²} \end{eqnarray}$ konvergent. Mit dem Leibniz Kriterium funktioniert es ja nicht, da $\begin{eqnarray} \frac {k+(-1)^k}{k²} \end{eqnarray}$ keine monoton fallende Nullfolge ist. Nun bin ich auf folgende Idee gekommen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {k+(-1)^k}{k²} = \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {1}{k} + \frac {(-1)^k}{k²} = \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {1}{k} + \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {(-1)^k}{k²}= \/<br /> <br /> = \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {1}{k} + \sum\limits_{k=2}^\infty \frac {(-1)^{2k}}{k²} = \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {1}{k} + \sum\limits_{k=2}^\infty \frac {1}{k²} \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {1}{k} \end{eqnarray}$ nach dem Leibniz Kriterium konvergent und die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac {1}{k²} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray} \frac{\pi²}{6} -1 \end{eqnarray}$ Und die Summe zweier Reihen konvergiert gegen die Summe der jeweiligen Grenzwerte. Ist dieser Beweis möglich?
10.12.2013, 11:30	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Reihe Um Probleme beim Auseinanderziehen der Summe zu vermeiden, würde ich mit den Partialsummen argumentieren. Ansonsten aber ok.
10.12.2013, 14:00	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Reihe Ok Super! Danke für die Antwort Sprich so meinst du? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {k+(-1)^k}{k²} = \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k (\frac {1}{k} + \frac {(-1)^k}{k²}) =( \frac {1}{2}+ \frac {1}{4})+(-\frac {1}{3}+ \frac {1}{9})+(\frac {1}{4}+ \frac {1}{16})+ ...= ( \frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+...)+( \frac {1}{4}+ \frac {1}{9}+ \frac {1}{16}+ ...)= \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac {1}{k} + \sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k\frac {(-1)^k}{k²} \end{eqnarray}$
10.12.2013, 14:12	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Reihe Nein, ich meine $\begin{eqnarray} S_n := \sum\limits_{k=2}^n (-1)^k \frac {k+(-1)^k}{k²} = ... \end{eqnarray}$ Das ist jetzt eine endliche Summe, wo man Summanden nach Belieben anders sortieren darf.
10.12.2013, 14:18	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Reihe Alternativ könntest Du das Pferd auch von hinten aufzäumen und aus der Existenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2} \end{eqnarray}$ die Konvergenz von deren Summe folgern. Das 'Zusammenziehen' dieser beiden Reihen ist ja mit deren jeweiliger Konvergenz legitimiert.

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