Poissonverteilung, mehrere Zufallsvariablen

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muab Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung, mehrere Zufallsvariablen
Hi,
ich habe Probleme mit folgender Übungsaufgabe:

Zitat:
Gegeben sei ein geeigneter diskreter W-Raum (, P). Eine Firma betreibt in einer Stadt 10 Filialen. Die Zufallsvariablen Xi :
->N0 (i = 1, ..., 10) geben die Anzahl der Besucher pro Tag in Filiale i an. Es sei bekannt, dass diese gemäß einer Poisson-Verteilung mit Parameter  = 6 verteilt sind.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
(a) in einer Filiale pro Tag höchstens 5 Besucher kommen,
(b) an einem Tage in mindestens 5 Filialen höchsten 5 Besucher kommen,
(c) die gesamte Besucherzahl aller Filialen an einem Tag höchstens 5 beträgt.


Meine Ansätze:
a)
Müsste sich durch einsetzen in die Verteilungsfunktion lösen lassen, das hieße dann...
, was bei mir ungefähr 0,44 liefert.

b)
Hier würde ich vermuten, daß ich die in a) berechnete Wahrscheinlichkeit für das Ereignis einer Binomialverteilung mißbrauchen kann (also p = 0.44 und q = 1 - 0.44 = 0.56), und würde das wieder in die Verteilungsfunktion einsetzen. Ich habs jetzt im ersten Ansatz von 5 bis 10 aufsummiert:


..allerdings hab ich durch Recherche rausgefunden, daß es wohl auch so via Komplement gehen müsste:


c)
Und hier steh ich aufm Schlauch. Es handelt sich denke ich um die Summe der Werte der Zufallsvariablen, dazu finde ich aber nichts in meinem Skript, habe via google etwas von Faltung gelesen die man in dem Fall betreibt... und dazu auch nichts im Skript gefunden, also wird es wohl irgendwie anders gehen müssen.
Ich bin mir recht sicher, daß ich hier schonmal wieder eine Verteilungsfunktion brauche (für X <= 5), ich kann kombinatorisch ermitteln wieviele Möglichkeiten es gibt um mit 10 Filialen auf die Summe 5 zu kommen (wobei die Poisson-verteiltheit darin dummerweise nicht berücksichtigt wird), und ich vermute daß es binomialverteilt ist... bin aber insgesamt ziemlich ratlos und wäre für jeden Hinweis dankbar. smile
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bei den Teilaufgaben a) und b) würde ich dir zustimmen, auch wenn ich, bei der b) zwei Nachkommastellen mehr verwendet hätte.

Für die c) müsste dieser Abschnitt bei wiki helfen.

Edit: Dies Angabe "Höchstens 5 Besucher bei allen Filialen" kommt mir ein bisschen wenig vor.

Grüße.
muab Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort. smile
Bzgl. der geringen Zahl Besucher: so stehts im Aufgabentext, hab nochmal nachgeguckt.

Zu c), wenn ich den Artikel richtig interpretiere (auf mehrere unabhängige poisson-verteilte ZVen verallgemeinerbar) ist also gesucht:


Es gilt außerdem:


Wegen der Reproduktivität ergäbe sich dann wieder die Poisson-Verteilung mit , und einsetzen in die Verteilungsfunktion ergibt:


...ist ziemlich klein. Wäre das denn so wenigstens richtig oder hab ich mir das Leben zu einfach gemacht?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir das Leben auch so einfach gemacht. Es ist ja eigentlich logisch, dass die Wahrscheinlichkeit sehr klein ist. Der Erwartungswert pro Filiale sind ja 6 Besucher.
muab Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann man wohl nur mit den Achseln zucken und machen. Aber gut, dann ist das gekauft - vielen Dank!
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du keine Möglichkeit hast einen möglichen Tippfehler des Aufgabenstellers auszuschließen, dann wird dir wohl nicht anderes übrig bleiben.
Der Kaufpreis ist übrigens 0 €. Big Laugh
 
 
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