Konvergenz einer Reihe

10.12.2013, 15:24	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Meine Frage: Zeigen Sie, dass folgende Reighe nicht konvergiert. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Grundsätzlich habe ich 2 Beweisansätze, habe aber bei beiden ein murmliges Gefühl. 1.) Wenn ich die Summe schreibe als $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n} } = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} -\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ dann habe ich eine divergente Reihe (harmonische Reihe) weniger einer konvergenten Reihe(nach Leibnizkriterium). Das Ergebnis kann ja nie konvergieren. Nur ich glaube das ist sehr "schwammig" 2.) Wenn ich die Summe versuche nach unten abzuschätzen, war meine Idee die Summe so aufzuspalten: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n} }= \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} - (-1)^{2k}\frac{1}{\sqrt{2k} } + \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} - (-1)^{2k+1}\frac{1}{\sqrt{2k+1} } \end{eqnarray}$ Falls ich das darf, komme ich mit dem Vergleichskriterium gut weiter. Meine Frage ist nun, ob ich so mit unendlichen Summen operieren darf? lg Ploki
10.12.2013, 15:29	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Du kannst hier gut indirekt folgern. Nimm an die Reihe würde konvergieren. Dann darfst du die offenbar konvergente Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ addieren und gemäß Grenzwertsätzen müsste auch die daraus resultierende Summe konvergent sein...
10.12.2013, 15:50	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Gute Idee. Aber auf welchen Grenzwertsatz nimmst du hier Bezug?

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