Woher weiß man dass eine Folge konvergent oder divergent ist?

10.12.2013, 18:37

Jator08

Woher weiß man dass eine Folge konvergent oder divergent ist?

Hallo,
hab ein eher allgemeines Problem. Kann mir jemand sagen, wann eine Folge konvergent oder divergent ist?

z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{4n²+6}{2n-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{4n+6}{2n²-1} \end{eqnarray*}$

10.12.2013, 18:52

kgV

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Eine einfache Merkregel: Wenn der Zählergrad höher als der Nennergrad ist, sprich, wenn im Zähler die höhere Potenz vorkommt als im Nenner, dann ist die Folge divergent, ansonsten konvergiert sie
Warum?
Nun, es sei $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m} \end{eqnarray*}$ Herausheben der m-ten Potenz von x und kürzen derselben liefert $\begin{eqnarray*} \frac{a_0x^{n-m}+a_1x^{n-m-1}+\ldots+a_nx^{-m}}{b_0+b_1x^{-1}+\ldots+b_mx^{-m}}=\frac{a_0x^{n-m}+a_1x^{n-m-1}+\ldots+a_n\frac{1}{x^{m}}}{b_0+\frac{b_1}{x}+\ldots+b_m\frac{1}{x^{-m}}} \end{eqnarray*}$
Wichtig dabei: wenn x nun größer wird (gegen unendlich geht, dann werden die Brüche im Nenner immer kleiner, gehen gegen Null. Deswegen geht der Nenner gegen $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ . Der Zähler hingegen hat zumindest eine Potenz von x, die nicht in einem Nenner steht. Damit geht der Zähler gegen unendlich, und damit auch der ganze Bruch.
Der Fall Nennergrad >Zählergrad geht genau gleich, nur mit gegenteiligem Ergebnis: Zähler gegen $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ , Nenner gegen unendlich, in Summe also gegen Null
Interessant ist noch der Fall Zählergrad gleich Nennergrad. Da bleibt nach dem Herausheben für x gegen Unendlich $\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{b_0} \end{eqnarray*}$ über, was auch der Grenzwert ist.
Lg
kgV
Wink

10.12.2013, 19:04

Jator08

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Okay, also nach deinem ersten Satz hab ich nichts mehr verstanden. ^^
Also wenn Zähler höher als Nenner, dann divergent.

Und bei meinen Beispielen ist dann also die 1. Folge divergent und die 2. Folge konvergent?

10.12.2013, 19:10

kgV

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Zitat:

Also wenn Zähler höher als Nenner, dann divergent.

Als Zusammenfassung perfekt und auch alles, was du dir aus meinem obigen Post merken musst. Alles nach dem ersten Satz ist lediglich die Begründung dafür, dass es funktioniert. Es ist zwar hilfreich, das verstanden zu haben, aber nicht unerlässlich notwendig Augenzwinkern

Und ja: erste Folge divergent, zweite Folge konvergent

10.12.2013, 19:16

Jator08

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Okay danke.
Achja, das war aber erst die 1. Fragestellung.
Die 2. lautet:

"Zeichne den Graph um die Behauptung experimentell zu stützen"

Wie mache ich das denn?

10.12.2013, 19:22

kgV

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Ist das eine Hausaufgabe? Wenn ja, dann wirst du Konvergenz/Divergenz schon ein wenig begründen müssen...
Zur Zeichnung:
Da wirst du ein paar Werte berechnen müssen: ich würde f(0) und f(2) oder f(3) vorschlagen, da hält sich der Aufwand noch in Grenzen. Außerdem weißt du schon, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält, dieses Wissen musst du einsetzen, um die Bereiche weiter rechts zu skizzieren

10.12.2013, 19:41

Jator08

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Nein, nicht begründen.
1. Fragestellung einfach, ob konvergent oder divergent.
Und bei der 2. Fragestellung muss ich den Graph zeichnen.

10.12.2013, 19:44

kgV

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1. Nun gut, wenn du nicht begründen musst, dann sparen wir uns das Big Laugh

2. Dann mach dich mal ans Werk - das Vorgehen habe ich dir schon genannt - oder hast du dazu noch eine Frage?

10.12.2013, 19:47

Jator08

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Ja ich weiß nicht wie das geht. ^^

Was muss ich denn mit f(0), f(2) und f(3) machen?

10.12.2013, 19:52

kgV

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Einfach Null, Zwei und Drei nacheinander für n in die Folge einsetzen und die Werte berechnen. Danach kannst du dir die entstehenden Punkte im Koordinatensystem eintragen und den weiteren Verlauf der Folge skizzieren

10.12.2013, 19:56

Jator08

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Okay
f(0) = 0
f(2) = 7,33
f(3) = 8,4

10.12.2013, 20:04

kgV

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Ich nehme an, dass du bei der ersten Folge bist:
f(0) ist nicht gleich Null... Was ergibt denn $\begin{eqnarray*} \frac{4\cdot 0^2+6}{2\cdot 0-1} \end{eqnarray*}$ ?
f(2) stimmt
f(3) stimmt
Wenn du das hast, dann kannst du versuchen, die Folge zu zeichnen

10.12.2013, 20:15

Jator08

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Achso, -6
Weißt du wie man hier eine Grafik machen kann?

Edit: Schon gefunden, Geogebra smile

2. Edit: Doch nicht unglücklich

. Wenn ich f(0)=-6 eingebe, kommt "Falsche Eingabe"

10.12.2013, 20:20

kgV

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Naja, eigentlich hätte ich die Skizze von Hand gemacht... Mit GeoGebra kannst du dir die Funktion direkt in exakter Form ausgeben lassen, ich weiß nicht, ob das im Sinn der Aufgabe ist...

Und: -6 stimmt

10.12.2013, 20:22

Jator08

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Wie zeichne ich das denn per Hand?

10.12.2013, 20:30

kgV

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Nun, du malst dir die gefundenen Punkte in ein Koordinatensystem, und weil du weißt, dass die Folge divergiert, werden die Werte nach rechts hin immer größer. Du hast also Drei Punkte, die genau stimmen und für größere Werte von n, die du auf der x-Achse eintragen musst, hast du eine ungefähre Abschätzung. Die Skizze ist natürlich nur relativ grob, da ist GeoGebra eine überlegene Alternative

10.12.2013, 20:43

Jator08

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Bei f(0) = -6
0 ist auf der x-Achse, und -6 auf der y-Achse oder wie?

10.12.2013, 20:45

kgV

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Ja.

10.12.2013, 20:50

Jator08

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Okay, dann hab ich 3 Geraden. Was mach ich damit ^^

10.12.2013, 20:54

kgV

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Drei Geraden? Du solltest eigentlich drei Punkte haben... verwirrt

Was genau hast du gemacht?

10.12.2013, 21:04

Jator08

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Achso ja ^^
Okay, und dann halt verbinden.
Danke smile

Aber eine Frage hätte ich noch:
Warum genau "f(0)", "f(2)" und "f(3)" ?
Wieso nicht f(1) und so

10.12.2013, 21:07

kgV

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Nein, nicht verbinden: folgen haben einen Punktgraph, keine Linie... Und hast du auch eine Abschätzung für große Zahlen gezeichnet?
Und:
Es gibt kein zwingendes "darum":
die Werte sollten einerseits die Zone rund um die kleinen Werte wiedergeben und andererseits nicht zu schwer zu berechnen sein - da waren diese einfach geeignet

10.12.2013, 21:14

Jator08

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Also punktieren? verwirrt

10.12.2013, 21:16

kgV

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So könnte man es sagen smile