Lineare Abbildung oder nicht?

10.12.2013, 19:08

valtal

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Lineare Abbildung oder nicht?

Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe nicht, wie man bei der Überprüfung der Linearität wirklich vorgehen muss. Alle Beispiele sind verschieden. Nun sitze ich an zwei Aufgaben und weiß nicht weiter:
Welche der folgenden Abbildungen
f1,2: R2->R2
sind linear? Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Basis des Kerns?
f1(a)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ 1 + a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit a= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
f2(a)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ a_1 - a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit a= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee wäre höchstens,dass ein Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ existieren muss unglücklich

unglücklich

ich verstehe das einfach nicht,es tut mir Leid,falls die Idee völlig überflüssig ist.

10.12.2013, 19:39

Elvis

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$\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ ist linear genau dann wenn $\begin{eqnarray*} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\lambda a)=\lambda f(a) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in V \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$
Du musst nur für die gegebenen Funktionen die linken und rechten Seiten dieser Gleichungen berechnen, dann siehst du, ob sie gleich sind oder nicht.

10.12.2013, 19:51

valtal

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ ist linear genau dann wenn $\begin{eqnarray*} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\lambda a)=\lambda f(a) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in V \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$
Du musst nur für die gegebenen Funktionen die linken und rechten Seiten dieser Gleichungen berechnen, dann siehst du, ob sie gleich sind oder nicht.

Die Regeln sind mir bekannt aus dem Skript,das ich besitze, aber genau das ist mein Problem, wie gehe ich da vor? Denke ich mir einfach einen b-Vektor aus und nehme für f(a+b) einfach (a1,a2) + ..irgendwas? Daran scheitere ich. Ich habe mir sämtliche Tutorien angeschaut und verschiedene Beispiele druchgelesen,aber keins hat geholfen. Wenn es denn eine Möglichkeit gibt mir zu sagen, wie ich da rangehen soll, dann würde ich es verstehen unglücklich

unglücklich

Danke im Voraus

10.12.2013, 19:57

Elvis

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a=(a1,a2), b=(b1,b2)
linke Seite: f1(a+b)=f1(a1+b1,a2+b2)=(a1+b1,1+a2+b2)
rechte Seite: f1(a)+f1(b)=f1(a1,a2)+f1(b1,b2)=(a1,1+a2)+(b1,1+b2)=(a1+b1,2+a2+b2)
gleich oder ungleich ?

10.12.2013, 20:02

valtal

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Zitat:

Original von Elvis
a=(a1,a2), b=(b1,b2)
linke Seite: f1(a+b)=f1(a1+b1,a2+b2)=(a1+b1,1+a2+b2)
rechte Seite: f1(a)+f1(b)=f1(a1,a2)+f1(b1,b2)=(a1,1+a2)+(b1,1+b2)=(a1+b1,2+a2+b2)
gleich oder ungleich ?

ahaaaa, also ich wähle einen beliebigen b-vektor mit dem ich dann prüfen kann.
Das ist ungleich,also automatisch nicht linear oder muss ich zusätzlich, dann noch die zweite Regel prüfen?

DANKE DANKE DANKE!!!!! Jetzt verstehe ich wenigstens wie man das genauer angeht!

10.12.2013, 20:08

wasdalos

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Sehe ich das richtig, dass man für f2 auch durch die Additivität zeigen kann, dass sie nicht linear ist?

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10.12.2013, 20:16

valtal

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Zitat:

Original von wasdalos
Sehe ich das richtig, dass man für f2 auch durch die Additivität zeigen kann, dass sie nicht linear ist?

ich bekomme es auch so heraus,dass (0+b1,a1-a2+b2) nicht gleich (0,a1-a2+b1-b2) ist. unglücklich

unglücklich

10.12.2013, 20:56

Mulder

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f2 ist durchaus linear.

10.12.2013, 20:58

valtal

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Zitat:

Original von Mulder
f2 ist durchaus linear.

Kannst du vielleicht ne Begründung geben wieso? unglücklich

unglücklich

10.12.2013, 21:14

Mulder

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Nachdem Elvis dir bei der ersten Aufgabe schon fast alles hingeschrieben hat, finde ich, dass du mal am Zug bist. Es ist doch schließlich deine Übungsaufgabe. Wenn du auf was anderes kommst, leg deine Rechnungen detailliert dar, dann kann man auch gucken, was falsch gelaufen ist.

10.12.2013, 21:15

wasdalos

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Also ich komm auch nicht drauf, wieso f2 linear ist..

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} a1+b1 \\ a2+b2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ (a1+b1) - (a2+b2) \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ (a1-a2) + (b1-b2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ a1-a2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ b1-b2 \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} a1 \\ a2 \end{pmatrix} + f\begin{pmatrix} b1 \\ b2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.12.2013, 21:19

Mulder

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Zitat:

Original von wasdalos
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ (a1+b1) - (a2+b2) \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ (a1-a2) + (b1-b2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieso sind die beiden Seiten ungleich?

10.12.2013, 21:25

wasdalos

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Weil ich zu doof bin Klammern aufzulösen LOL Hammer

LOL Hammer

Ok danke, alles gut

11.12.2013, 18:07

Elvis

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Fast alles gut. Du musst noch für die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray*} f_2(\lambda a)=\lambda f_2(a) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in V \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ .

Übrigens gilt für jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f(o)=f(0o)=0f(o)=o \end{eqnarray*}$ , auch wegen $\begin{eqnarray*} f_1(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ nicht linear.

11.12.2013, 23:17

valtal

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wie wäre es denn bei einer transponierten Matrix? Zum Beispiel die :
R4->R4 T1(x) (x1,x4,x3,x2)^T
drehe ich da die Matrix um und handle nach den Regeln wieder oder?

12.12.2013, 17:57

Elvis

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Ich verstehe die Frage nicht. Wenn du eine neue Frage hast, dann stelle sie bitte so, dass man sie verstehen kann und mache ein "neues Thema" auf.

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