Nilpotenz

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Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotenz
Ich sitze mal wieder vor dem Übungszettel und grüble über der Aufgabe:
Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n. Weiter sei ein Endomorphismus von V.
1) Zeigen Sie: ² = 0, so ist Bild(phi) Kern(phi)

leider habe ich kaum einen Ansatz. Außer, dass die Abbildungsmatrix mit sich selbst mutlipliziert den Rang vermindern muss und dadurch die Diagonale und somit auch alles unter der Diagonalen Null sein muss.
Also diese:

Denn sonst wäre es mit sich selbst Mal genommen nicht 0.

PS: das ist leider nur die erste von 4 Teilaufgaben traurig Ich hoffe ihr könnt mir vielleicht weiterhelfen mit ein paar stumpern in die richtige Richtung.
Danke im Vorraus. Gott
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotenz
Ach du grüne Neune, bloß nicht so kompliziert denken.

Ganz stur die Mengeninklusion zeigen. Also: Sei . Zeige: Dann gilt auch .Das ist in maximal zwei Zeilen erledigt. Nutze das, was du über weißt.
 
 
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
Um eins vorab zu sagen, ich versuche mich hier wirklich anzustrengen, allerdings sind solche trocknen (meiner Meinung nach ist dieser "trocken") Beweise nicht mein Ding. Die 2 Voraufgaben hatte ich auch schon gelöst.


Nun zur Aufgabe:
Sollte das in etwa so aussehen?



Wir wissen:

Annahme:

Bew:

Darauß folgern wir
==>


?? Entschuldigung, habe etwas länger gebraucht (Habe grade das zweite mal in Latex etwas verfasst)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
Bew:

Diese Gleichungskette ist leider ein ziemliches Fiasko. Du musst da immer ein bisschen drauf achten, was für Sachen du miteinander gleichsetzt. Du setzt hier z.B. Abbildungen mit Elementen des Vektorraums V gleich, dabei sind das strukturell komplett verschiedene Dinge.

Annahme:

So, wenn a im Bild liegt, hat a auch ein Urbild. Formal:

Das ist alles noch sture Definition. Da ein Endomorphismus ist, ist aber wieder ein Element aus V. Also können wir auf die Gleichung



nochmal auf beide Seiten der Gleichung die Abbildung loslassen. Mach das mal und schau dann mal, was da steht.

Vielleicht hast du oben ja auch wohl das richtige im Kopf gehabt, aber das ist wie gesagt sehr ungünstig aufgeschrieben, da würde dein Tutor unweigerlich den Rotstift zücken müssen.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

genau das hatte ich eigentlich im Kopf...

Ich weiß was du damit meinst und eigentlich ist es auch klar -.-
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe b) Ist

Zeigen Sie: Ist so ist n gerade


Wenn
so müssen deren Dimensionen gleich sein???? (Hier mein Punkt, wo ich mir nicht sicher bin...wenn nicht, kannst du hier schon aufhören zu lesen)
dim(V) = n
Kann ich das dann über nen Widerspruchsbeweiß mit dem Rangsatz führen?
Der Rangsatz besagt ja:

=> Bild und Kern müssen gleiche Dimension haben
==>
da n ungerade:
===> es gibt keine ganze Zahl, die ich mal 2 nehmen kann um auf ein ungerades n zu kommen
====> Widerspruch...
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

müsste man

nicht darüber begründen können, dass sowohl Kern als auch Bild Untervektorraum von V sind ? Da die beiden gleich sind, haben sie natürlich die gleiche Dimension ....folglich, das unten
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ist alles richtig, was du schreibst.

Man landet bei und damit ist klar, dass der Faktor 2 auch in stecken muss, also gerade ist.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

cool smile dafür dass ich mir es ganz alleine überlegt hatte Big Laugh
nun zur c) :/ da graußt es mir etwas vor muss ich ehrlich gestehen
Es sei und es existiere ein sodass .
Man nennt dann nilponent. Es sei nun das kleinste Element der Menge .
Zeigen Sie, dass es ein gibt mit .
Man beweise, dass für ein solches v die Vektoren {} linear unabhängig sind.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zeigen Sie, dass es ein gibt mit .


Das geht doch eigentlich schon aus der Definition von Nilpotenz hervor....wenn m das kleinstmögliche ist, dann existiert ja kein noch kleineres, für das gilt

==> Es existiert ein v mit
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
Zeigen Sie, dass es ein gibt mit .

Diese "Aufgabe" klingt komplett bescheuert. Was soll man da denn "zeigen"? Für mich geht das auch schon eindeutig aus dem hervor, was zuvor in der Aufgabenstellung vorgegeben wurde. Du kannst ja deine Begründung, die du hier schon geschrieben hast, dazuschreiben. Ich wüsste sonst auch nichts, was man da noch großartig zu schreiben könnte.

Die c (ich meine jetzt den sinnvollen Teil der Aufgabe) ist jedenfalls an sich auch nicht schwer.

Wir nehmen an , für ein festes . Damit ist natürlich z.B. auch und und so weiter und so fort. Bis hin zu . Und natürlich ist auch .

Wir nehmen nun ferner an:



Die sind Skalare des Körpers, der dem Vektorraum V zugrunde liegt.

Gemäß Definition von linearer Unabhängigkeit ist nun zu zeigen:

Zu diesem Zweck solltest du auf beiden Seiten der Gleichung mal erneut die Abbildung anwenden. Verwende, dass linear ist und schau mal, was sich ergibt. Wenn einmal der Groschen gefallen ist, ist der Rest ein Klacks.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

das bis zur linearität war mir zwar klar, aber das mit dem anwenden ist ne sehr coole idee, da hat es nämlich gehangen.


==>wird dann quasi zu


ist ja eigentlich immer 0, da sonst unsere linearität bezüglich der Multiplikation mit den skalaren verletzt wäre, wenn ich mich nicht irre.
==>

==>weiter umformen mithilfe der linearität


hmm... ich überlege mal weiter
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

ok, mir fällt auf, dass

sein muss und dadurch
=>und egal wie oft ich phi noch auf phi^m draufschicke, es kommt immer null raus



Aber das führt mich doch genau in die entgegengesetzte richtung...nämlich, dass ich lambda1 so wählen kann wie ich will
==> müssen nicht alle lambda = 0 sein ==> linear abhängig
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio

Schau mal ein bisschen genauer hin. Hier fallen fast alle Summanden weg, weil sie 0 sind. Es bleibt nur ein einziger übrig.

Wenn z.B. ist, dann ist doch z.B. auch und so weiter und so fort, weil lineare Abbildungen den Nullvektor stets wieder auf den Nullvektor abbilden.

Für heute bin ich dann aber auch weg. Gute Nacht.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir auch dann aufgefallen
Habs oben geschrieben Augenzwinkern hast aber anscheinend gerade selber deinen kommentar geschrieben :P , aber danke für alles smile
Vielleicht kannst du mir morgen noch etwas bei der Aufgabe d) helfen wenn du magst smile
wäre echt nett

Dir eine gute Nacht smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
Aber das führt mich doch genau in die entgegengesetzte richtung...nämlich, dass ich lambda1 so wählen kann wie ich will
==> müssen nicht alle lambda = 0 sein ==> linear abhängig

Das ist eine falsche Schlussfolgerung. Es ist richtig, dass wir bei dieser Gleichung so wählen können, wie wir wollen. Das heißt aber nicht, dass das auch bei der ursprünglichen so sein muss. Was übrig bleibt, ist doch das hier:



Diese Gleichung muss ja auch stimmen. Was bedeutet das aber für ?
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

ja das muss 0 sein, weil ja schließlich
war.

Ich könnte ja jetzt eigentlich mit

auf beiden seiten mal nehmen, oder?
dann wäre es ja

dann könnte ich daraus folgern, dass auch lambda2=0 sein muss....
usw....
das zieht sich dann ja hoch bis lambda
oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
Ich könnte ja jetzt eigentlich mit

auf beiden seiten mal nehmen, oder?
dann wäre es ja

dann könnte ich daraus folgern, dass auch lambda2=0 sein muss....

An dieser Stelle zeigen wir natürlich, dass sein muss.

Aber genau das ist die prinzipielle Idee, ja. Im nächsten Schritt kriegt man dann , danach usw.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

juhu! smile
freue mich wie ein schlumpf...
reine neugierde...
hätte man das auch über den Rang begründen können? weil der Rang muss ja eigentlich abnehmen mit jeder Multiplikation einer (ich nenne sie mal) "selbstvernichtenden" Abbildungsmatrix.
Laut dem Dimensionssatz


und wenn ja nun der Rang abnimmt, legt entweder der Kern zu oder die Dimension von V abnimmt? (wie gesagt, das ist reine neugierde)

Aufgabe d) wäre
Zeigen sie: Ist nilpotent, so ist



PS: Ist das oben vielleicht schon der halbe Lösungsweg für die d) ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
juhu! smile
freue mich wie ein schlumpf...
reine neugierde...
hätte man das auch über den Rang begründen können? weil der Rang muss ja eigentlich abnehmen mit jeder Multiplikation einer (ich nenne sie mal) "selbstvernichtenden" Abbildungsmatrix.
Laut dem Dimensionssatz


und wenn ja nun der Rang abnimmt, legt entweder der Kern zu oder die Dimension von V abnimmt? (wie gesagt, das ist reine neugierde)

Ehrlich gesagt kann ich dir da grad nicht folgen.

Jedenfalls: Die in c) gewonnenen Erkenntnisse kannst du in d) unmittelbar anwenden. Da ist nicht mehr viel zu tun.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

was ich damit meine ist:

wäre ja bei unserer ersten Abbildung z.B.
3= 2 + 1

bei unserer nächsten Abbildung mit phi muss ja aber unser Kern zulegen
also:

==> 3 = 1+2

das muss ja so sein, ansonsten haben wir ja später nicht


oder liege ich da falsch?

Und damit müsste ich dann ja rein theoretisch ja auch die Aufgabe d) begründen können,
denn
wobei
der Rang muss ja quasi eins abnehmen, damit ich später darauf komme
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Jedenfalls: Die in c) gewonnenen Erkenntnisse kannst du in d) unmittelbar anwenden. Da ist nicht mehr viel zu tun.


Ich wüsste aber nicht wie ich das mit der Dimension von V in zusammenhang bringen sollte...
Das dazu müsste n>=m (aus der Voraufgabe sein).
Die einzig logische erklärung wäre dann für mich mein Kommentar oben drüber
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
bei unserer nächsten Abbildung mit phi muss ja aber unser Kern zulegen

Warum?

Klar ist, dass der Kern irgendwann größer werden muss. Und irgendwann Dimension n hat. Aber warum muss der Kern jedes Mal größer werden? Man weiß doch gar nicht, wie aussieht. Ich sehe nicht, wie du damit begründen willst, dass tatsächlich schon zwingend die Nullabbildung sein muss.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

ich verkette es doch aber mit sich selbst?!
heißt das nicht, dass wenn es einmal einen Rang abnimmt, es dann bei jeder Verkettung einen weiteren abnimmt?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
heißt das nicht, dass wenn es einmal einen Rang abnimmt, es dann bei jeder Verkettung einen weiteren abnimmt?

Du müsstest erstmal beweisen, dass der Rang einer nilpotenten Matrix kleiner n ist (die Matrix also nicht vollen Rang hat). Dann müsstest du beweisen, dass auch tatsächlich der Rang jedes Mal kleiner wird (das ist durchaus so, ja). Weißt du das denn alles schon?

Nimm doch einfach das, was du aus c) schon weißt. Wäre noch nicht die Nullabbildung, wäre die Familie von Vektoren linear unabhängig (es gäbe jedenfalls ein solches v) und das würde dim V=n widersprechen, weil man dann n+1 linear unabhängige Vektoren hätte. Widerspruch, fertig!
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Du müsstest erstmal beweisen, dass der Rang einer nilpotenten Matrix kleiner n ist (die Matrix also nicht vollen Rang hat). Dann müsstest du beweisen, dass auch tatsächlich der Rang jedes Mal kleiner wird (das ist durchaus so, ja). Weißt du das denn alles schon?


Da hast du natürlich auch wieder recht...
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage mal vieeeeeeeeeelen Dank für deine enorme Hilfe smile
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