Folge Konvergenz

10.12.2013, 23:26	Matti2	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge Konvergenz Meine Frage: Hallo, Ich soll die Folge $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + ...+ \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz untersuchen. Meine Ideen: Ich habe a_n abgeschätzt durch a_n <n/(n+1)->1 und erhalte damit, dass a_n nach oben durch 1 beschränkt ist. Da a_n außerdem streng monoton wachsend ist, ist a_n konvergent. Aber was ist jetzt der Grenzwert genau? Meine Abschätzung war ja sehr grob... Wie gehe ich an den genauen Grenzwert ran? Kann man da was über die harmonische Reihe machen (hat ja eine Ähnlichkeit als Ausschnitt daraus), bzw macht das Sinn? Unser Thema sind gerade Exponentialfunktionen... die Aufgabe hat da bestimmt was mit zu tun, was genau weiß ich nur noch nicht Vielen Dank für eure Hilfe! LG Matti
10.12.2013, 23:45	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge Konvergenz Es gilt: $\begin{eqnarray} a_n=\sum_{k=1}^n\frac 1{n+k}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}k\longrightarrow \ln(2). \end{eqnarray}$ Alternativ: $\begin{eqnarray} a_n=\frac 1n\sum_{k=1}^n\frac 1{1+\frac kn}\longrightarrow\int_0^1\frac {\dd x}{1+x}=\ln(2). \end{eqnarray}$
10.12.2013, 23:59	Matti2	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Dein zweiter Umformungsschritt ist mir leider nicht klar. Wie kommst du von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \end{eqnarray}$ ? Viele Grüße
11.12.2013, 07:39	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Gleichung kannst du, durch eine kleine Rechnung, direkt oder alternativ auch bequem per Induktion beweisen.
11.12.2013, 13:44	Matti2	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Beweis über vollständige Induktion hab ich jetzt raus und der ist mit gut klar. Aber wie geht das direkt? Ist bestimmt nochmal eleganter. Ich habe es mal für n=5 "durchgespielt", weiß aber nicht wie das allgemein geht. Danke!
11.12.2013, 16:38	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst stellen wir fest: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2n}\frac 1k=\sum_{k=1}^n\frac 1{2k-1}+\sum_{k=1}^n\frac 1{2k}. \end{eqnarray}$ Damit folgt nun: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}k=\sum_{k=1}^n\frac 1{2k-1}-\sum_{k=1}^n\frac 1{2k}=\sum_{k=1}^{2n}\frac 1k-2\sum_{k=1}^n\frac 1{2k}=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac 1k=\sum_{k=1}^n\frac 1{n+k}. \end{eqnarray}$
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12.12.2013, 22:32	Matti2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhh - erscheint mir logisch Entschuldige die späte Antwort aber hatte bis jetzt keine Zeit. Danke nochmal! Matti

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