Beweis der Umkehrabbildung

11.12.2013, 00:14

Joefish

Beweis der Umkehrabbildung

Hallo,

ich bin mir sicher dieses Thema wurde schon zu tode diskutiert, jedoch habe ich das Problem, dass ich Buechern und Texten, die ich finde meist ein Lemma vorsteht, in welchem angenommen wird z.b. "sei f bijektiv" ohne eine Begruendung warum grade bijektiv..
Daher waere es nett, wenn ihr ueber meinen Versuch des Beweises mal drueberschauen koenntet.

Sei eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ . Existiert eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g:Y\to X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} g \circ f = Idx \end{eqnarray*}$ .
Fuer Eindeutigkeit muss f injektiv sein, sonst koennte f(x) mehr als ein Urbild haben, sodass die Umkehrung nicht eindeutig waere.
Da in f nach Abbildungsdefinition jedem $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ zugeordnet wird, muss g surjektiv sein, um alle Elemente aus Y dem jeweiligen $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ zuerueckzufuehren.
Elemente aus Y, welche unter f mit keinem x in Beziehung stehen, werden beliebige $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ zugeordnet.

Zusammengefasst erhalten wir die Implikation $\begin{eqnarray*} g \circ f \Rightarrow f\ inj.\ \& \ g\ surj. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \ inj. : \ \ g(f(x_1)) = x_1 = x_2 = g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ nach Implikation.
$\begin{eqnarray*} g \ surj. : \ \ g(f(x)) = x,\ \forall x \in X \end{eqnarray*}$ und somit auf komplett X abbildet.

Fuer Kommutativitaet der Umkehrabbildung muss $\begin{eqnarray*} g \circ f = Idx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \circ g = Idy \end{eqnarray*}$ gelten.
Nach unserer bereits gezeigten Implikation, folgt: $\begin{eqnarray*} g \circ f = Idx \wedge f \circ g = Idy \Rightarrow (f\ inj.\ \& \ g\ surj.)\ \&\ (g\ inj.\ \&\ f\ surj.) \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} f,g\ bijkeitv \end{eqnarray*}$ .

Eindeutigkeit der Umkehrabbildung zeigen wir durch die Annahmen, dass es mehr als eine Umkehrabbilung fuer f gibt.
$\begin{eqnarray*} g' : Y \to X;\ g' \circ f = Idx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g' = g' \circ Idy = g' \circ (f \circ g) = (g' \circ f) \circ g = Idx \circ g = g \end{eqnarray*}$

11.12.2013, 14:08

jimmyt

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RE: Beweis der Umkehrabbilung
Hi,
wie wäre es, wenn du das mit einem indirekten Beweis machst? Freude

Ein Vorschlag:

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} S: \;g \circ f = Id(x) ~\Longrightarrow~ f \text{ ist bijektiv} \end{eqnarray*}$
Negation: $\begin{eqnarray*} \neg S: \;g \circ f = Id(x) ~\land~ \neg (f \text{ ist bijektiv}) ~\Longleftrightarrow~ g \circ f = Id(x) ~\land~ f \text{ ist nicht bijektiv} \end{eqnarray*}$

(1) $\begin{eqnarray*} f \text{ ist nicht inj.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow~ \neg (~\forall_{x_i, x_j \; \in \; X}: (f(x_i) ~=~ f(x_j) ~\implies~ x_i ~=~ x_j)~) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow~ \exists_{x_i, x_j \; \in \; X}: (f(x_i) ~=~ f(x_j) ~\land~ x_i ~\neq~ x_j) \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} f \text{ ist nicht surj.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow~ \neg (~\forall_{y \; \in \; Y}: \exists_{x \; \in \; X}: f(x) ~=~ y~) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow~ \exists_{y \; \in \; Y}: \forall_{x \; \in \; X}: f(x) ~\neq~ y~ \end{eqnarray*}$

Jetzt führst du $\begin{eqnarray*} \neg S \end{eqnarray*}$ zu einem Widerspruch für (1) und (2). Danach weißt du, daß $\begin{eqnarray*} \neg S ~=~ \text{false} \end{eqnarray*}$ , und deswegen $\begin{eqnarray*} \neg\neg S ~=~ S ~=~ \text{true} \end{eqnarray*}$ .
Bspw. für die Kommutativität nimmst du ja einfach an, daß die Implikation stimmt. Aber die möchtest du doch erst noch beweisen. smile

Und z.B. das hier

Zitat:

Original von Joefish
...
Fuer Eindeutigkeit muss f injektiv sein, sonst koennte f(x) mehr als ein Urbild haben, sodass die Umkehrung nicht eindeutig waere.
...

klingt doch schon ganz gut.

16.12.2013, 06:36

Joefish

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RE: Beweis der Umkehrabbilung
Vielen Dank erstmal fuer deine Antowrt und Entschuldigung, dass ich so spaet zurueck schreibe.

Zitat:

Original von jimmyt
Bspw. für die Kommutativität nimmst du ja einfach an, daß die Implikation stimmt. Aber die möchtest du doch erst noch beweisen. smile

Ich dachte, dass mein "Beweis"/Erklaerung in der Einleitung ausreichen wuerde, um die Implikation zu erhalten.
Oder besser gefragt, wo mangelt es meiner Vorgehensweise, um akzeptabel zu sein?

Um deine Idee des indirekten Beweises aufzufassen:
Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f = Id(x) ~\land~ f \text{ ist nicht bijektiv} \end{eqnarray*}$ gilt.
(1) Somit $\begin{eqnarray*} \exists{x_i, x_j \; \in \; X}: (f(x_i) ~=~ f(x_j) ~\land~ x_i ~\neq~ x_j) \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x_i) = g(f(x_i)) = g(f(x_j)) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ als Funktionsargument, den selben Funktionswert liefert. (Widerspruch)

(2) Da nur Linksinverse fuer f untersucht wird, nicht von Belang.
Falls jedoch Links-/Rechtsinverse gefordert waere, muesste $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) = Id(x) ~\land~ (f \circ g)(y) = Id(y) \end{eqnarray*}$ gelten.
Wir nehmen an $\begin{eqnarray*} \exists{y \; \in \; Y}: \forall{x \; \in \; X}: f(x) ~\neq~ y~ \end{eqnarray*}$ , woraus folgt $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = \text{nicht def., bzw. } \neq Id(y) \end{eqnarray*}$ . (Widerspruch)

Ich bin mir ziemlich sicher diese Schreibweise nicht nicht optimal.
Wenn ich mir deine Formulierungen ansehe, sind diese kurz und aussagekraeftig ohne viel Prosa, um die Sachlage zu erklaeren.
Jedoch scheint mir dafuer einfach noch das Gefuehl zu fehlen.. :/

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