Grenzwertbeweis

11.12.2013, 00:24	marocaine	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbeweis Hallo Matheboard-Gemeinde, es geht um folgende Aufgabe: Beweisen Sie: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a >0 \end{eqnarray}$ . Ist meine folgende Lösung richtig? 1. Fall: $\begin{eqnarray} a \geq 1 \end{eqnarray}$ Es folgt aus der Definition der Konvergenz: $\begin{eqnarray} \exists N \in \mathbb N \wedge \epsilon >0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a^{1/n} -1 \| = a^{1/n} -1 = ((a-1)+1)^{1/n} - 1 < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq N = f(\epsilon) \end{eqnarray}$ . Nun verwende ich die Bernoullische Ungleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray}$ und es folgt $\begin{eqnarray} ((a-1)+1)^{1/n} - 1 \geq \frac {a-1}{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} N \geq \left\lceil\frac{a-1}{\epsilon}\right\rceil \end{eqnarray}$ . 2. Fall: $\begin{eqnarray} 1 > a > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a^{1/n} -1 \| = 1 - a^{1/n} = 1 - ((a-1)+1)^{1/n} < \epsilon \end{eqnarray}$ Wieder kommt Bernoulli zum Zug: $\begin{eqnarray} 1 - ((a-1)+1)^{1/n} \leq \frac{1-a}{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} N \geq \left\lceil \frac{1-a}{\epsilon}\right\rceil \end{eqnarray}$ . Würde mich über Rückmeldung freuen! Beste Grüsse, maro
11.12.2013, 00:35	marocaine	Auf diesen Beitrag antworten »
Argh, ich sehe gerade, dass das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in der Bernoulli-Ungleichung eine positive ganze Zahl sein muss. Alles umsonst .
11.12.2013, 07:57	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei zunächst $\begin{eqnarray} a\geq 1. \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} b_n:=\sqrt[n]{a}-1\geq 0. \end{eqnarray}$ Dann ist die z.z. Beh. also äquivalent zu $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}b_n=0. \end{eqnarray}$ Nun nach Bernoullischer Ungleichung gilt aber: $\begin{eqnarray} a=(1+b_n)^n\geq 1+n b_n>n b_n. \end{eqnarray}$ Und daraus folgt für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac an>b_n\geq 0. \end{eqnarray}$ Das Einschließungskriterium liefert nun die Beh.. Jetzt überleg dir mal wie du das Ganze für $\begin{eqnarray} a<1 \end{eqnarray}$ erschlagen kannst!

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