Differentialgleichung 1. Ord. mit trennbaren Variablen

11.12.2013, 11:42

fritzfox

Differentialgleichung 1. Ord. mit trennbaren Variablen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein kleines Problem (hoffe zumindest, dass es nur klein ist).

Aufgabenstellung aus "Mathematik für Ingenieur- und Fachschulen" (Themenbereich im Titel ersichtlich):
Die DGL. $\begin{eqnarray*} T \dot y + y = K ( \dot y = dy/dt) \end{eqnarray*}$ ist zu lösen (t = 0, y = 0). ... (Ist aber nicht weiter wichtig)

Das Ergebnis lautet: $\begin{eqnarray*} y = K( 1 - e^{-\frac{t}{T} } \end{eqnarray*}$ )

Anfangs hatte ich Probleme beim Lösen bis ich merkte, dass das Integral von (K - y) negativ sein muss.

Meine Frage wäre, wieso kann ich das nicht anders machen, indem ich hier $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{T} = \frac{(dy)}{K - y} \end{eqnarray*}$ eine -1 ausklammere und auf die andere Seite bringe $\begin{eqnarray*} ( -\frac{dt}{T} = \frac{(dy)}{y - K} ) \end{eqnarray*}$ ?

Ich bedanke mich schon mal fürs lesen Augenzwinkern

der Frage und für Hilfestellungen.

Meine Ideen:
Meine Lösungsvorgehensweise (für das richtige Ergebnis ohne Ausklammern der -1):
$\begin{eqnarray*} T*\frac{dy}{dt} + y = K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T*\frac{dy}{dt} = K - y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{T}{dt} = \frac{(K - y)}{dy} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{T} = \frac{(dy)}{K - y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{T} \, dt = \int \! \frac{1}{K - y} \, dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{t}{T} = - ln|K - y| + ln | K | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> e^{\frac{t}{T}} = e^{- ln|K - y| + ln | K |} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> e^{\frac{t}{T}} = e^{ln | \frac{K}{K - y} |} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{t}{T}} = \frac{K}{K - y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{t}{T}} * (K - y) = K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (K - y) = \frac{K}{e^{\frac{t}{T}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K - \frac{K}{e^{\frac{t}{T}}} = y \end{eqnarray*}$

11.12.2013, 14:24

Kasen75

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Zitat:

Original von fritzfox

Meine Frage wäre, wieso kann ich das nicht anders machen, indem ich hier $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{T} = \frac{(dy)}{K - y} \end{eqnarray*}$ eine -1 ausklammere und auf die andere Seite bringe $\begin{eqnarray*} ( -\frac{dt}{T} = \frac{(dy)}{y - K} ) \end{eqnarray*}$ ?

Kannst du gerne machen. smile

Zitat:

Original von fritzfox
Meine Ideen:
Meine Lösungsvorgehensweise (für das richtige Ergebnis ohne Ausklammern der -1):

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{T} \, dt = \int \! \frac{1}{K - y} \, dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{t}{T} = - ln|K - y| + ln | K | \end{eqnarray*}$

Wieso ist hier die Integrationskonstante gleich $\begin{eqnarray*} ln|K| \end{eqnarray*}$ ?

Grüße.

12.12.2013, 10:36

fritzfox

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Zitat:

Kannst du gerne machen. smile

Damit erhalte ich eine andere Lösung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{dt}{T} = \frac{(dy)}{y - K} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{1}{T} \, dt = \int \! \frac{1}{y - K} \, dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{t}{T} = ln| y - K | + ln | K | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{t}{T}} = e^{ln|y - K | + ln | K |} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{t}{T}} = e^{ln | (y - K)*(K) |} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{t}{T}} = (y - K)*(K) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{t}{T}} * \frac{1}{K} = (y - K) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K + \frac{1}{e^{\frac{t}{T}}*K} = y \end{eqnarray*}$

Und das scheint mir nicht gleich der angegebenen Lsg. zu sein. (Hoffe es ist kein Fehler entstanden).

Zitat:

Wieso ist hier die Integrationskonstante gleich $\begin{eqnarray*} ln|K| \end{eqnarray*}$ ?

Laut Buch:
Im Bsp. ... ergab sich nach Int. der linken Seite der Log. eines Terms. Ist dies auf min. einer der beiden Seiten der Fall, dann setzt man zweckmäßig die Int.konstante gleich in der Form des Log. einer Konstanten an. Dies ist ohne Einschränkung der Lösungsmenge möglich, denn C soll eine reelle Zahl sein, und jede reelle Zahl kann als Log. einer positiven Zahl dargestellt werden.

Wobei im Bsp. das $\begin{eqnarray*} ln|K| \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite dazuaddiert wird, nicht wie in meiner Rechnung oben (auf der Seite des anderen ln Terms).

Wie würde man sonst (ich sage mal "normal") vorgehen bzgl. der Konstanten?
Es müsste schon die Lsg. aus dem ersten Post stimmen, da wie erwähnt, die Aufgabe weitere Teilaufgaben hat.

Danke und Gruß

12.12.2013, 10:53

Kasen75

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Nur kurz:

Du kannst die Integrationskonstante nicht genauso benennen wie eine der Variablen. Nenne sie z.B. C.

Dann kannst du die DGL erst einmal allgemein lösen und dann die Anfangsbedingung, t=0, y=0, verwenden um den Wert für C zu bestimmen.

Bin in einer 3/4 Stunde wieder da. smile

12.12.2013, 11:14

fritzfox

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Zitat:

Du kannst die Integrationskonstante nicht genauso benennen wie eine der Variablen. Nenne sie z.B. C.
Dann kannst du die DGL erst einmal allgemein lösen und dann die Anfangsbedingung, t=0, y=0, verwenden um den Wert für C zu bestimmen.

Vielen Dank für diesen Tip, scheint so, also ob nur da mein Fehler lag (habs im Beispiel irgendwie unter den Teppich gekehrt).

Werde alle Möglichkeiten durchgehen und meinen Post hier editieren.

Danke nochmals.

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