Cauchy konvergenzkriterium erklärung benötigt.

11.12.2013, 16:42	Steini1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy konvergenzkriterium erklärung benötigt. Meine Frage: Guten Tag, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zum Cauchy Konvergenzkriterium. Wir haben die Definition: Eine beschränkte unendliche Zahlenfolge An ist nur dann konvergent, wenn es noch zu jedem kleinen Epsilon eine natürliche Zahl N gibt, so dass gilt: \|An-Am\| < Epsilon wenn n,m >N Mein Problem besteht , die Rechnung ab einem bestimmten Punkt nachzuvollziehen. Daher ich nicht weiter weiß. Meine Ideen: So nun Zur ersten Aufgabe: An = n/(n+1) Anwendung: \|n/(n+1) - m/(m+1)\| < Epsilon = \|(nm+n -(mn+m))/(mn+n+m+1)\|< Epsilon = \|(n-m)/(mn+n+m+1)\|< Epsilon So nun würde ich eine Nebenrechnung machen wie bei einem anderen Konvergenzkriterium, aber wie stelle ich das an? In der Uni gab es nur die Lösung: (m-n)/(mn+m+n+1)< m/(mn+m+n+1)< m/(mn) = 1/n < 1/N = 1/ (1/Epsilon) = Epsilon ab dem punkt mit m/(mn+m+n+1) < m/(mn) bin ich aufgeschmissen. Wie kommt man dorthin? Was muss man machen um zu diesem Term zu gelangen?
11.12.2013, 19:42	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy konvergenzkriterium erklärung benötigt. Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig. Wähle nun ein beliebiges $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n_0>\frac 2{\varepsilon}. \end{eqnarray}$ Dann gilt für alle $\begin{eqnarray} n,m\geq n_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\|a_n-a_m\right\|=\frac{\|n-m\|}{(n+1)(m+1)}\leq\frac{n+m}{nm}=\frac 1n+\frac 1m\leq\ldots \end{eqnarray}$
11.12.2013, 19:59	Steini1994	Auf diesen Beitrag antworten »
So ähnlich habe ich das in meinen Nachforschungen auch herausgefunden. Jetzt stellt sich mir nur die Frage wie komme ich auf $\begin{eqnarray} n_0> \frac 2{\varepsilon}. \end{eqnarray}$ Bei anderen Kriterien habe ich das hinbekommen das $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ auszurechnen nur hier bekomme ich das einfach nicht mit der Nebenrechnung hin. Dann noch zum Schluss: Wie komme ich auf den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac {n+m}{nm} \end{eqnarray}$ Irgendwie verstehe ich das Prinzip hinter diesem Kriterium noch nicht .. Ich bräuchte so ne richtige Erklärung für dumme Menschen...
11.12.2013, 20:50	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich überlegt man sich das Ganze nicht genau so wie man es dann nachher aufschreibt. Zunächst betrachtet man den Ausdruck $\begin{eqnarray} \|a_n-a_m\| \end{eqnarray}$ und gelangt damit zu $\begin{eqnarray} \frac{\|n-m\|}{(n+1)(m+1)}. \end{eqnarray}$ Da dieser Ausdruck noch etwas unhandlich aussieht, schätzt man Nenner und Zähler großzügig ab (ohne dabei zu großzügig zu sein!) um sich das Ganze gefügig zu machen. Offenbar gilt $\begin{eqnarray} \|n-m\|\leq n+m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (n+1)(m+1)>nm. \end{eqnarray}$ Damit landet man dann bei $\begin{eqnarray} \frac 1n+\frac 1m. \end{eqnarray}$ Nun sind aber $\begin{eqnarray} n,m\geq n_0. \end{eqnarray}$ Also gilt $\begin{eqnarray} \frac 1n+\frac 1m\leq\frac 2{n_0}. \end{eqnarray}$ Und erst jetzt überlegt man sich wie $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ in Abh. v. $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ nun wohl zu wählen ist damit $\begin{eqnarray} \frac 2{n_0}<\varepsilon \end{eqnarray}$ ist.
11.12.2013, 21:12	Steini1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay das eklärt das ganze viel besser ! Danke Nun noch zum abschätzen könntest du mir einen Tipp geben wie man das bei anderen Aufgaben sieht weil da liegt mein Denkfehler bei der Kompletten Aufgabe. Sucht man sich einfach logische Beziehungen um den Term zu Vereinfachen?
12.12.2013, 09:05	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss man sich anhand verschiedener Beispiele mal in Ruhe klar machen und dann einfach üben, üben, üben...
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