ZZ: 3 bijektive abbildungen, wenn Kompositionen injektiv oder surjektiv

Neue Frage »

11.12.2013, 17:36	JJ_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ZZ: 3 bijektive abbildungen, wenn Kompositionen injektiv oder surjektiv Meine Frage: Seien f : A -> B, g : B -> C und h : C -> A Abbildungen. Zeige: Wenn die Abbildungen h?g?f und g?f?h beide surjektiv sind und die Abbildung f?h?g injektiv ist, dann sind die drei Abbildungen f, g und h sämtlich bijektiv. Das ist die Aufgabenstellung mit der ich nicht recht klar komme... Meine Ideen: Ich würde anfangen die Bijektivität von g zu zeigen, dann f und dann h, dass war die Idee in unserer Übungsgruppe. Ich habe ja gegeben, dass g?f?h:C->C und h?g?f:A->A injektiv, d.h. g(f(h(c)))=g(f(h(c'))) => c=c' und h(g(f(a))) = h(g(f(a'))) => a=a' und durch f?h?g:B->B surjektiv gilt: für alle b Element B existiert ein b Element B für das gilt f(h(g(b)))=b Aber mir ist noch nicht wirklich klar, wie ich das nutzen kann... Ich bin dankbar für Ideen, weil wir bisher immer nur mit maximal zwei Funktionen gearbeitet haben...
11.12.2013, 17:43	jimmyt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, nochmal zum Verständnis: welche Komposition ist jetzt injektiv, und welche surjektiv? Ich glaube, da ist etwas durcheinander gekommen.
11.12.2013, 19:06	JJ_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
h-g-f und g-f-h sind surjektiv und f-h-g ist injektiv laut Aufgabenstellung.
11.12.2013, 19:11	JJ_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh stimmt falschrum aufgeschrieben, dann bedeutet das: für alle a Element A existiert ein a Element A mit der Eigenschaft h(g(f(a)))=a für alle c Element C existiert ein c Element C mit der Eigenschaft g(f(h(c)))=c und aus f(h(g(b)))=f(h(g(b'))) folgt b=b' Hilft mir aber momentan immer noch nicht
11.12.2013, 21:56	jimmyt	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wie wäre es, wenn du einen indirekten Beweis machst. Dafür nimmst du die Negation der zu beweisenden Aussage und führst diese zu einem Widerspruch. Ich habe die Vorgehensweise für einen indirekten Beweis heute Mittag schon einmal für eine ähnliche Aufgabe hier gepostet. Ein Vorschlag: $\begin{eqnarray} S:~ h \circ g \circ f \text{ und } g \circ f \circ h \text{ sind surjektiv}, f \circ h \circ g \text{ ist injektiv} ~\implies~ f, g \text{ und } h \text{ sind bijektiv} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \neg S:~ h \circ g \circ f \text{ und } g \circ f \circ h \text{ sind surjektiv}, f \circ h \circ g \text{ ist injektiv} ~\land~ f, g \text{ und } h \text{ sind nicht bijektiv} \end{eqnarray}$ Und jetzt $\begin{eqnarray} \neg S \end{eqnarray}$ zu einem Widerspruch führen. Tipp: Ich würde mir dafür z.B. für $\begin{eqnarray} f \circ h \circ g \text{ ist injektiv} \end{eqnarray}$ die einzelnen Kompositionen $\begin{eqnarray} h \circ g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \circ h \end{eqnarray}$ genauer anschauen. Dafür auch die Def. von Injektivität nutzen.
11.12.2013, 22:29	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@jimmyt Ich will dir da nicht unbedingt reinreden, aber es geht einfacher. Man sollte folgende Implikationen berücksichtigen: $\begin{eqnarray} a\circ b \small\text{ surjektiv }\Rightarrow a \text{ surjektiv } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\circ b \small\text{ injektiv }\Rightarrow b \text{ injektiv } \end{eqnarray}$ Dies kann man ausdehnen, wenn man eine Kette aus drei Abbildungen hat: $\begin{eqnarray} a\circ b \circ c\small\text{ surjektiv }\Rightarrow a \circ b \text{ surjektiv }\Rightarrow a \text{ surjektiv } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\circ b \circ c\small\text{ injektiv }\Rightarrow b \circ c \text{ injektiv }\Rightarrow c \text{ injektiv } \end{eqnarray}$ Hat man nun $\begin{eqnarray} h\circ g \circ f\small\text{ surjektiv } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\circ f \circ h\small\text{ surjektiv } \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f\circ h \circ g\small\text{ injektiv } \end{eqnarray}$ , dann kann man mit obigen Beziehungen Schlussfolgerungen ziehen.
Anzeige

12.12.2013, 00:30	jimmyt	Auf diesen Beitrag antworten »
@RavenOnJ : Kein Problem, viele Wege führen nach Rom. Du hast recht, deswegen ist mein Vorschlag aber noch lange nicht falsch. Und mein Tipp geht ja genau in diese Richtung.
12.12.2013, 00:46	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich behaupte nicht, dass der Weg falsch ist, ich denke nur, mein Weg ist einfacher. Dein Weg ist auf alle Fälle anders als meiner, da bei meinem kein Widerspruchsbeweis geführt wird.
12.12.2013, 06:38	JJ_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke euch beiden und versuche mich mal... Melde mich, wenn ich noch Probleme habe ;-)

Neue Frage »

Antworten »

ZZ: 3 bijektive abbildungen, wenn Kompositionen injektiv oder surjektiv

Verwandte Themen