Verständnisproblem Inferenzstatistik

11.12.2013, 21:15

Kniggo

Verständnisproblem Inferenzstatistik

Ahoi

Ich habe hier irgendwie mega Verständnisprobleme mit Inferenzstatistik Bascis. Habe schon drei Bücher gewälzt und berechnen kann ichs irgendwie, aber verstehen tu ichs nicht. Machen wir mal ein simples Beispiel:

Ich habe eine Grundgesamtheit und einen bekannten durchschnittlichen IQ von 100 mit Standardabweichung von 10. Nun ziehe ich daraus 50 Leute und gebe ihnen ein Medikament, das dem IQ erhöhen soll. Dann mache ich mit denen einen IQ-Test und bekommen einen Mittelwert der Stichprobe von 105. Ist das nun Zufall oder wirkt das Medikament? Alphafehler lege ich auf 0,05, einseitiger Test.

Jetzt berechne ich den Standardfehler des Mittelwerts der Stichprobe. Der ist dann: $\begin{eqnarray*} \frac{10}{\sqrt{50}} \end{eqnarray*}$ = 1,41. Der Standardfehler ist ja die Standardabweichung des Mittelwerts der Stichprobe.

Nun setzte ich das ein: $\begin{eqnarray*} \frac{(105-100)}{1,41} \end{eqnarray*}$ = 3,55.

Was sagt mir diese Zahl jetzt? Irgendwie kapiere ich das nicht, weil ich zwei Sachen vermische. 3,55 ist ja jetzt die Standardabweichungen, aber von was? Laut Tabelle wäre dieser Wert weit über dem kritischen Wert und das Ergebnis ist signifikant und das Medikament wirkt tatsächlich, schon klar.

Aber WAS ist von WAS jetzt 3,55 Standardabweichungen entfernt? Hammer

11.12.2013, 23:34

Dopap

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1.41 ist die Standardabweichung der Zufallsgrösse $\begin{eqnarray*} \overline X_{50} \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert wurde um das 3.55-fache der Standardabweichung überschritten. Die Wkt, dass das zufällig sein könnte beträgt

$\begin{eqnarray*} p=1-\Phi (3.55)=0.025% \end{eqnarray*}$

12.12.2013, 18:54

Kniggo

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Danke also ich werde mir das nochmal zeichnen und dann schauen ob ichs grafisch auch verstehe. Was mit dem 3,55 jetzt gemeint ist, kann ich nachvollziehen.

Hätte da noch eine Frage, die eher in Richtung Konfidenzintervalle geht. Wieder mal ein Beispiel:

Ich mache eine Stichprobe und finde raus, dass bei 50 Befragten die Körpergröße im Mittel bei 178cm liegt (XBalken). Aus den erhobenen Daten berechne ich den Standardfehler von XBalken mit 2,49cm (also Standardabweichung). Nun würde ich gerne ein Konfidenzintervall haben um zu schauen, in welchem Bereich die Körpergröße in der GG wohl etwa liegt. Da der Standardfehler von XBalken ja die Varianz in der Population immer systematisch unterschätzt, muss ich die Varianz in der GG schätzen. Laut meiner Formel wäre das dann 2,49^2 * ((n-1)/n). Damit wäre die Varianz in der GG 6,07 und die zugehörige Standardabweichung 2,46. Wieso ist jetzt aber hier die berechnete Standardabweichung kleiner als die meiner Stichprobe? Kann das sein?

Und wollte ich jetzt das Konfidenzintervall berechnen: würde ich dann mit der geschätzten Standardabweichung rechnen, also 6,07, oder?

12.12.2013, 21:24

Kniggo

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OK hat sich erstmal erledigt, ich habe die falsche Formel herangezogen. Ist aber auch doof, da gibts Sigmas und Ss mit allen möglichen Indices, Balken und Dächern geschockt

13.12.2013, 07:52

Kniggo

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OK, jetzt muss ich doch nochmal fragen, weil das irgendwie keinen Sinn ergibt.

In meinem Buch ist ein Beispiel zur Veranschaulichung. Die wahren Parameter sind µ = 66,73 und Sigma Index x = 15,86. Das ist ja die Standardabweichung des Mittelwerts µ. Nun sind beispielhaft Stichproben aus dieser Grundgesamtheit gezogen. Eine Stichprobe mit n = 30 hat ein XBalken von 66,68 und ein S xbalken von 2,73.

Im Text heisst es weiter: "Die Populationsvarianz wird von der empirischen Varianz also systematisch unterschätzt". Das sieht man auch an dem Beispiel da 15,86 > 2,73.

Jetzt gehen wir mal davon aus, die Populationsvarianz wäre unbekannt und ich soll sie jetzt aus der empirischen Varianz schätzen. Dazu heisst es im Buch:

"In Fällen, in denen die Populationsstandardabweichung nicht bekannt ist, kann sie näherungsweise aus der Stichprobenvarianz bzw. der Stichprobenstandardabweichung geschätzt werden. Dann ist diese Formel gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{S^2}{n-1} } \end{eqnarray*}$

Genauer gemeint ist S^2 mit Index X, hab ich nicht ganz hinbekommen. Jedenfalls setze ich dann ein und erhalte 0,507! Dieser Wert unterscheidet sich ja ganz extrem vom eigentlich Wert 15,86. Und soweit ich Mathe kann, wird die Formel dank der Wurzel immer eine kleinere Varianz für die GG berechnen, als die, die man für die empirische einsetzt. Ich bin total verwirrt, warum kommt da nur Käse raus? traurig

13.12.2013, 17:47

Dopap

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Zitat:

Original von Kniggo
In meinem Buch ist ein Beispiel zur Veranschaulichung. Die wahren Parameter sind $\begin{eqnarray*} \mu = 66,73 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_X = 15,86 \end{eqnarray*}$ . Das ist ja die Standardabweichung des Mittelwerts µ.

Wie meinen ? Das liegt wohl ein Missverständnis vor. Das ist die Standardabweichung der Zufallsvariablen X. Beispiel: mäßiger Speerwerfer mit ziemlicher großer Streuung.

Zitat:

Nun sind beispielhaft Stichproben ( Plural ! ) aus dieser Grundgesamtheit gezogen. Eine Stichprobe mit n = 30 hat ein $\begin{eqnarray*} \overline X = 66,68 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} S_{ \overline X } = 2,73 \end{eqnarray*}$ .

Ich lese das so: die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} \overline X_{n=30} \end{eqnarray*}$ hat...
Also nicht die Streuung der Einzelwerte, sondern die Streuung der diversen Mittelwerte.
Deshalb die deutlich verringerte Standardabweichung.

13.12.2013, 20:38

Kniggo

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Oh man, ich steh mal wieder auf dem Schlauch Hammer

Ja jetzt seh ichs langsam sein. Das ist trotzdem irgendwie sehr tricky, ich muss mal schauen wie ich das endgültig verstehen kann.

Machen wir mal ein Beispiel, das ja relativ realitätsnah ist. Wir können ja nicht alle Bundesbürger einzeln testen. Wir wollen rausfinden, wie gut die Bevölkerung Speerwerfen kann. Jetzt ziehen wir eine Stichprobe mit 40 Leuten und messen, wie weit jeder den Speer werfen kann. Ich komme auf einen Mittelwert der Stichprobe $\begin{eqnarray*} \overline X = 68 \end{eqnarray*}$ . Auch kann ich ja die Varianz der Stichprobe berechnen, diese empirische Varianz $\begin{eqnarray*} {S^{2}}_{X}=95 \end{eqnarray*}$ . Jetzt würde ich gerne die Varianz der GG Schätzen. Dazu benutze ich diese Formel:
$\begin{eqnarray*} {S^{2}}_{X}}\cdot {\frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$ . Laut der Formel komme ich auf eine geschätzte Varianz von 97,44. Da ja der Mittelwert schon ein erwartungstreuer Schätzer ist, kann ich davon ausgehen, dass µ ebenfalls 68 ist. Ist meine GG damit korrekt beschrieben, zumindest schätzweise?

13.12.2013, 21:15

Dopap

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was mir gefällt ist, dass du auch am Ball bleibst Freude

( auch dann wenn es nicht so rasant vorwärts geht )

Auch dein letzter Beitrag sieht gut aus Freude

'Hast das Latex gleich übernommen !

richtig : $\begin{eqnarray*} \hat \mu =\overline x \end{eqnarray*}$ der Mittelwert der Stichprobe ist ein erwartungstreuer Schätzer für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

die korrigierte Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \hat S_X =... \end{eqnarray*}$ ist nicht immer ein erwartungstreuer Schätzer für die Standardabweichung der GG.

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Ich beschäftige mich mit dem Thema eher hobbymäßig seit sehr langer Zeit.

Mein Tipp: nirgendwo ist es so wichtig, genau die Bedeutung der vielen vielen Symbole zu kennen. Erst längere Übung macht einen so Fit, dass auch mal ein fragwürdiges Symbol richtig interpretiert wird. Die Crux : nicht jede Aufgabe hält sich genau an den Standards Wink

14.12.2013, 13:14

Kniggo

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Danke für deine Hilfe und deine Tipps Freude

. Das stimmt, auch in den verschiedenen Büchern sind die Symbole nicht einheitlich.. Ich finde Statistik ziemlich spannend und interessant und werde demnächst auch in einer Hausarbeit das mal anwenden dürfen.

Ich frage mich nur auch gerade, wie ich zwei nominalskalierte Variablen gut untersuchen kann, bzw. den Zusammenhang. Ich werde wohl zwei Indices haben, die etwas anzeigen, also z.B. Lebenszufriedenheit und Schulabschluss. Daraus würde ich dann ja so viel wie möglich erkennen wollen. Dummerweise habe ich bisher nur den Chi-Quadrat-Test gefunden, der ermitteln kann, ob die Variablen unabhängig sind. Das ist schon etwas wenig. Auf Regression werde ich wohl auch verzichten müssen. Fällt hier noch jemandem was ein, was man benutzen könnte?

Leider ist unsere Vorlesung sehr mäßig und handelt auch nur die absoluten Basics ab, also das, was hier so besprechen, geht schon darüber hinaus, bzw. kommt erst in kommenden Sitzungen. Deshalb versuche ich auch so was über die Verfahren herauszubekommen. Wäre hier auch ein t-Test anwendbar? Ich könnte ja den "Glücksmittelwert" bei Hauptschülern und Uni-Absolventen ermitteln und dann mittels t-Test vergleichen, oder? Daraus könnte man ja auch gewisse Sachen ableiten. Oder lieber eine Varianzanalyse und dann gleich 3 oder 4 Bildungsgrade?

Vielleicht habt ihr noch gute Ideen!

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