Allgemeine bedingte Wahrscheinlichkeit messbar bzgl....

11.12.2013, 22:19	kleinteile?1.80	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine bedingte Wahrscheinlichkeit messbar bzgl.... Meine Frage: Hallo zusammen, wie kann ich denn Vorgehen um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathrm{P}(X\|Y) \end{eqnarray}$ messbar bzgl. der von Y erzeugten Sigma-Algebra ist? Wie muss ich da ansetzen, um die Messbarkeit bzgl. $\begin{eqnarray} \sigma(Y) \end{eqnarray}$ nachzuweisen? Meine Ideen: Sollte ich den Ausdruck $\begin{eqnarray} \mathrm{P}(X\|Y) \end{eqnarray}$ vielleicht umformen, z.B. in einen Erwartungswert?
13.12.2013, 10:27	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das auf ersten Blick sehe, wird es Dir weiterhelfen, die abstrakte Einführung der bedingten Wahrscheinlichkeit zu betrachten: Für einen Maßraum $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{A},P) \end{eqnarray}$ und ein Ereignis $\begin{eqnarray} B \in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ betrachte die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_{B}=\{ A \cap B \| A \in \mathcal{A}\} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_{B} \subset \mathcal{A} \end{eqnarray}$ . Dann definieren ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray} P_{B} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (B,\mathcal{A}_{B}) \end{eqnarray}$ durch: $\begin{eqnarray} P_{B}(A_{B} ) := \frac{P(A_{B} \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A_{B} \in \mathcal{A}_{B} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P(A\|B):= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray}$ heißt dann bedingte Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Da du da wohl Zufallsvariablen hast, musst Du denke ich einfach ein bisschen umarbeiten, so dass Du statt $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_{B} \end{eqnarray}$ die von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ erzeugte $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra verwendest, dann solltest Du darauf kommen.
13.12.2013, 12:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei dies natürlich nur im Fall $\begin{eqnarray} P(B)>0 \end{eqnarray}$ so geht - für $\begin{eqnarray} P(B)=0 \end{eqnarray}$ bekommt man da Probleme. In allgemeineren Räumen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit über die bedingte Erwartung definiert, und zwar so: $\begin{eqnarray} P(X\in A \bigm\| Y) := E( 1_A(X) \bigm\| Y) = E (1_A(X) \bigm\| \sigma(Y)) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} E(Z \bigm\| \mathcal{B}) \end{eqnarray}$ ist ja bereits per definitionem eine $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ -messbare Zufallsgröße.

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