Grenzwert von Wurzelfunktion

11.12.2013, 23:57

shmosby

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Grenzwert von Wurzelfunktion

Bestimme $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{(x+a)(x+b)}-x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ fest.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{(x+a)(x+b)}-x = \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x^2+ax+bx+ab}-x = \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x^2 \cdot (1+ \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{ab}{x^2})}-x = \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1+ \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{ab}{x^2}}-x = \lim_{x \rightarrow \infty}x \cdot \sqrt{1+ \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{ab}{x^2}}-x \end{eqnarray*}$

Bemerkung: $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ fest, $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty}x \cdot \sqrt{1}-x = \lim_{x \rightarrow \infty}x \cdot 1 - x = \lim_{x \rightarrow \infty}x - x = 0. \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

12.12.2013, 00:28

Mathewolf

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Außer ein paar Klammersetzungsfehler ist der rechenweg und das ERgebnis ok.

Du meintest bestimmt

"Bestimme $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty}\big(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\big) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ fest."

12.12.2013, 00:31

shmosby

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Selbstverständlich meinte ich das so. Danke! Wenn ich nun all diese Klammern setze, dann geht das so, ja? Danke!!

12.12.2013, 09:25

Grautvornix

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Leider Falsch!
Ich bin da hinsichtlich Lösungsweg und Ergebnis nicht einverstanden.

Zunächst gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=\frac{a+b}2. \end{eqnarray*}$

Und um das zu zeigen kann man hier sehr gut mit dem Einschließungskriterium argumentieren.

12.12.2013, 09:49

Grautvornix

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RE: Leider Falsch!
Um das Einschließungskriterium anwenden zu können ist hier die Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel nützlich.

Die lässt sich hier auch ganz flott herleiten.

Seien $\begin{eqnarray*} r,s>0. \end{eqnarray*}$

Offenbar gilt:

$\begin{eqnarray*} 0\leq(\sqrt{r}-\sqrt{s})^2=r-2\sqrt{rs}+s. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{r+s}2\geq\sqrt{rs}. \end{eqnarray*}$

Nun multipliziert man diese Ungleichung nun mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{rs} \end{eqnarray*}$ und formt etwas um:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{rs}\geq\frac{2rs}{r+s}. \end{eqnarray*}$

Insgesamt hat man nun:

$\begin{eqnarray*} \frac{r+s}2\geq\sqrt{rs}\geq\frac{2rs}{r+s}. \end{eqnarray*}$

Für Deine Aufgabe setze in obiger Ungeichungskette $\begin{eqnarray*} r:=(x+a),~s:=(x+b). \end{eqnarray*}$

12.12.2013, 10:57

shmosby

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RE: Leider Falsch!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=\frac{a+b}2 \end{eqnarray*}$

Warum gilt das? von $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2 \end{eqnarray*}$ steht nichts in der Aufgabe! Ich verstehe das nicht.

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12.12.2013, 11:06

Grautvornix

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RE: Leider Falsch!

Zitat:

Original von shmosby
Warum gilt das?

Weil's stimmt!

Zitat:

Original von shmosby
von $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2 \end{eqnarray*}$ steht nichts in der Aufgabe!

Was auch sinnvoll ist, denn üblicherweise ist die Lösung nicht Bestandteil der Aufgabenstellung.

Zitat:

Original von shmosby
Ich verstehe das nicht.

So ist das eine ziemlich unkonstruktive Aussage.
Du musst schon sagen was genau du nicht verstehst.

Eigentlich habe ich doch schon alles Nötige recht ausführlich ausgebreitet.
Vielleicht solltest du dir das einfach mal zu Gemüte führen.
Wenn's dann irgendwo klemmt, dann sag einfach genau wo!

12.12.2013, 11:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Wurzelfunktion
Und falls dir der Rechenweg von Grautvornix nicht zusagt, kannst du immer noch den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+a)(x+b)}-x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+a)(x+b)} +x \end{eqnarray*}$ erweitern. smile

smile

12.12.2013, 11:16

Grautvornix

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RE: Grenzwert von Wurzelfunktion

Zitat:

Original von klarsoweit
den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+a)(x+b)}-x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+a)(x+b)} +x \end{eqnarray*}$ erweitern. smile

smile

Aber Vorsicht - dabei braucht man die Stetigkeit der Wurzelfunktion was beim Abschätzen nicht der Fall ist.

12.12.2013, 12:44

shmosby

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Mit der Ungleichungskette soll ich nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2 \end{eqnarray*}$ kommen?

12.12.2013, 12:53

Grautvornix

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Ja!

Denn, wenn du $\begin{eqnarray*} r\text{ und }s \end{eqnarray*}$ wie vorgeschlagen ersetzt, dann folgt sofort:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2\geq\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\geq\frac{a+b+\frac{2ab}x}{2+\frac{a+b}x}. \end{eqnarray*}$

12.12.2013, 13:30

shmosby

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Also dein Ergebnis erhalte ich einfach nicht...

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2\geq\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\geq\frac{2(x+a+b+\frac{ab}x)}{2+\frac{a+b}x}. \end{eqnarray*}$ kommt bei mir raus...

12.12.2013, 13:48

Grautvornix

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$\begin{eqnarray*} \frac{2(x+a)(x+b)}{(x+a)+(x+b)}-x=\frac{2x^2+2x(a+b)+2ab-(2x^2+x(a+b))}{2x+(a+b)}=\frac{x(a+b)+2ab}{2x+(a+b)}=\frac{a+b+\frac{2ab}x}{2+\frac{a+b}x}. \end{eqnarray*}$

12.12.2013, 14:09

shmosby

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Okay. Ich weiß jetzt also, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2 \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist. Aber wozu brauche ich den letzten Term der Ungleichungskette? Um zu zeigen, dass da noch etwas ist? Und wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} 0\leq(\sqrt{r}-\sqrt{s})^2=r-2\sqrt{rs}+s \end{eqnarray*}$ am Anfang?

12.12.2013, 15:23

Grautvornix

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Zitat:

Original von shmosby
Okay. Ich weiß jetzt also, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2 \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist. Aber wozu brauche ich den letzten Term der Ungleichungskette? Um zu zeigen, dass da noch etwas ist? Und wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} 0\leq(\sqrt{r}-\sqrt{s})^2=r-2\sqrt{rs}+s \end{eqnarray*}$ am Anfang?

Das Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ und die 2. binomische Formel hätte ich jetzt als bekannt vorausgesetzt.

12.12.2013, 16:41

shmosby

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Ja, das weiß ich beides. Aber ich verstehe nicht, warum man jetzt plötzlich die 2. binomische Formel nutzen soll.

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