Grenzwert von Floor-Funktion

12.12.2013, 00:44

shmosby

Grenzwert von Floor-Funktion

Bestimme $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^2 \cdot \lfloor \frac{1}{x} \rfloor \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung:

1. Für $\begin{eqnarray*} ]-\infty,0 [ \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^2 \cdot \lfloor \frac{1}{x} \rfloor = \lim_{x \to 0}x^2 \cdot (-1) = -(x^2) \end{eqnarray*}$

2. Für $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^2 \cdot \lfloor \frac{1}{x} \rfloor = \lim_{x \to 0}x^2 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

3. Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion falsch, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ nicht existiert und die Funktion nicht gelöst werden kann.

Ist das so in Ordnung?

12.12.2013, 10:28

Grautvornix

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RE: Grenzwert von Floor-Funktion
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x-1\leq\lfloor x\rfloor\leq x\text{ für alle }x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

wie man leicht zeigen kann.

Kommst Du damit weiter?

12.12.2013, 17:23

shmosby

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Nicht wirklich, sorry verwirrt

12.12.2013, 17:53

HAL 9000

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Eigentlich ist es einfaches Einsetzen (!) von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in die von Grautvornix genannte Doppelungleichung, und anschließendes Multiplizieren mit dem positiven Wert $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . Die entstehende Doppelungleichung liefert sofort den Grenzwert gemäß Sandwichsatz.

12.12.2013, 22:06

shmosby

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"Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Funktionen „eingezwängt“ wird, auch gegen diesen Wert."

Das trifft hier dann aber nicht zu, oder reicht es, wenn sie gegen EINEN Wert strebt?

13.12.2013, 12:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von shmosby
Das trifft hier dann aber nicht zu

Doch, das trifft zu. Bei Befolgung des Rates von Grautvornix, vor der du dich (aus mir unverständlichen Gründen) ewig herumdrückst:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}-1 \leq \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \leq \frac{1}{x} \qquad\mbox{für alle}\; x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ,

multipliziert mit $\begin{eqnarray*} x^2>0 \end{eqnarray*}$ ergibt dies

$\begin{eqnarray*} x-x^2 \leq x^2\cdot \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \leq x \qquad\mbox{für alle}\; x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} (x-x^2) = \lim_{x\to 0} x = 0 \end{eqnarray*}$ , die Voraussetzungen des Sandwichsatzes sind also alle erfüllt.

13.12.2013, 15:23

shmosby

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Oh man, ich habe schon wieder vergessen, dass x gegen 0 geht.. danke dir!

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