Orthogonale Vektoren unbekannten Faktor bestimmen

12.12.2013, 13:13

Sandy1979

Orthogonale Vektoren unbekannten Faktor bestimmen

Hallo zusammen,

folgende Hausaufgabe lässt mich rätseln.

Bestimmen sie $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass Vektor c = Vektor b + t*Vektor a, orthogonal auf Vektor a steht..

Gegeben Vektor a mit (1,2,3) und Vektor b mit (1,6,5)

Nun weiß ich, dass dass Skalarprodukt von Vektor a und, dem ja noch unbekannten Vektor c, gleich 0 sein muss, damit sie orthogonal zueinander stehen.

Aber ich weiß nicht, wo ich jetzt ansetzen könnte um das t zu finden.

Hat emand einen Tipp?

Das wäre super, danke!

LG

12.12.2013, 15:05

Kasen75

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Hallo,

mein Tipp: Damit zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen, müssen jeweils die beiden Richtungsvektoren orthogonal zueinander stehen.

Grüße.

12.12.2013, 21:30

torik

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Hallo,

Zitat:

Aber ich weiß nicht, wo ich jetzt ansetzen könnte um das t zu finden.

kann ich nicht so stehen lassen, denn dieser Satz

Zitat:

Nun weiß ich, dass dass Skalarprodukt von Vektor a und, dem ja noch unbekannten Vektor c, gleich 0 sein muss, damit sie orthogonal zueinander stehen.

ist ein Ansatz, weil er sich umsetzen lässt. Die Endform von Vektor c ist unbekannt, das stimmt, aber ist da nicht doch schon eine Information über c gegeben?

13.12.2013, 21:02

Sandy1979

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Halli Hallo,

Erstmal lieben Dank Euch zweien für Eure Antworten..

Werde mich morgen nochmal mit der Aufgabe beschäftigen und dann hoffentlich was klarer sehen..

Ein zwei Gedanken dazu habe ich notiert..

LG und danke

14.12.2013, 15:02

Sandy1979

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Hallöchen,

also nachdem ich ein wenig überlegt habe, habe ich mir folgende Gleichung entwickelt

$\begin{eqnarray*} 0=(\vec{b} + t\cdot \vec{a})\cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$

in dem Falle also dann

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Frage, kann ich das t hier so mit dem Vektor multiplizieren, als wäre es quasi ein Vektor für sich? Also hätte ich dann 1t + 2t + 3t.

Dann zum Schluss eben alles ausrechnen und nach t umstellen?

Oder funktioniert das in dem Falle so nicht?

Danke und LG

14.12.2013, 15:50

torik

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Zitat:

kann ich das t hier so mit dem Vektor multiplizieren, als wäre es quasi ein Vektor für sich?

Hallo, wenn damit gemeint ist, dass
$\begin{eqnarray*} t\ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 t \\ 2 t \\ 3 t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ benutzt wird, dann ja.

Zum formalen Ausdruck:
Streng genommen stimmt das "Malzeichen" "hinter" dem t nicht mit dem Zeichen für das Skalarprodukt überein, so dass der Ansatz besser so geschrieben wird:

$\begin{eqnarray*} 0=(\vec{b} + t \vec{a})\cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$

oder wenn unbedingt ein Multiplikationsoperator da stehen soll, dann z. B. so:
$\begin{eqnarray*} 0=(\vec{b} + t * \vec{a})\cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$
Wenn man beide als Multiplikationszeichen auffasst, kommen die Schreibweisen aufs gleiche raus.

Zitat:

Dann zum Schluss eben alles ausrechnen und nach t umstellen?

Nach t umstellen ist gut.

14.12.2013, 17:48

Sandy1979

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Hallo torik,

Lieben Dank.

Ich habe dann mal die Klammer ausmultipliziert

Kommt 1 + 12 + 15 +1t + 4t + 9t = 0 raus.

Am Ende ist t= -2

Ich hoffe das stimmt.

LG und danke

14.12.2013, 17:57

torik

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Um zu sehen, ob das erhaltene t die Gleichung erfüllt, braucht ja bloß t=-2 in
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= 0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt zu werden (und so weit vereinfacht zu werden, bis eine wahre Aussage erkennbar ist).

14.12.2013, 18:02

Sandy1979

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Danke

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