inhomogenes Gleichungssystem, Bestimmung Lösungsraum/Lösungmenge

12.12.2013, 22:20	Ric94	Auf diesen Beitrag antworten »
inhomogenes Gleichungssystem, Bestimmung Lösungsraum/Lösungmenge Hallo, ich habe hier eine Aufgabe die ich nicht hinbekomme: [attach]32367[/attach] Meine Idee: a) Ich forme das gleichungssystem um. Nach einigen Schritten habe ich das raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -12 & -1 & 15 & -12 \\ 0 & 0 & -\frac{35}{2} & -\frac{129}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Heißt das nicht dann das es unendlich viele Lösungen gibt? oder sehe ich das falsch? Ich bedanke mich für jeden Tipp Mfg Ric94
13.12.2013, 09:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inhomogenes Gleichungssystem, Bestimmung Lösungsraum/Lösungmenge Mal abgesehen davon, daß es $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -12 & -1 & 15 & -12 \\ 0 & 0 & -\frac{35}{2} & -\frac{129}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißen muß, gibt es in der Tat unendlich viele Lösungen für das homogene System.
13.12.2013, 11:08	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Und abgesehen davon MUSS es unendlich viele Lösungen geben, da von einem 5-dimensionalen auf einen 4-dimensionalen Raum abgebildet wird, d.h. der Kern der Abbildung ist nicht-trivial, die Dimension größer als 0.
13.12.2013, 16:15	Ric94	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Danke. Ich hab das GLS jetzt noch ein bisschen umgeformt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{37}{10} & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{109}{70} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{129}{35} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt wähle ich x4 und x5 als freie Variablen, also x4=t und x5=s. Dann ergibt sich für die Lösungen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} \frac{37}{10} \\ \frac{109}{70} \\ -\frac{129}{35} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das der Lösungraum? Also ist die Dimension des Lösungsraums 2? Vielen Dank Ric94
13.12.2013, 16:20	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
13.12.2013, 16:34	Ric94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank. Nur noch eine letzte Frage zur b) Ich habe die gleichen Lösungschritte genommen wie bei a) jetzt nur für das inhomogene GLS. Da kommt dann folgendes raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{37}{10} & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{109}{70} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{129}{35} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{10} \\ \frac{9}{70} \\ \frac{16}{35} \\ 9 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Ich hab gestern nochmal im Skript gelesen. Wenn die letzte Zeile der Matrix nur Nullen enthält, der Vektor rechts neben dem Gleichheitszeichen in der untersten Zeile keine 0 dann hat das GLS keine Lösung. Richtig? Also müsste die Lösungsmenge des GLS die leere Menge sein, oder seh ich das falsch? Mfg Ric94
Anzeige

13.12.2013, 16:48	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »