f(x) = 0,5*f(x+5) |
| 13.12.2013, 11:28 | Ghostwire | Auf diesen Beitrag antworten » |
| f(x) = 0,5*f(x+5) Ich bin auf der Suche nach einer Funktion, bei der folgende Voraussetzung gilt: f(x) = 0,5 * f(x+5) bzw. f(x-5) = 2 * f(x) D.h. alle fünf Schritte soll sich der Funktionswert verdoppeln. Kann mir jemand sagen, wie man auf mathematischem Weg zur Ergebnisfunktion (s.u.) kommt? Meine Ideen: Durch Überlegung bin ich schon darauf gekommen, dass die Ergebnisfunktion diese ist: f(x) = 2 ^ (x/5) |
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| 13.12.2013, 12:12 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: f(x) = 0,5*f(x+5) Wenn unabhängig vom jeweiligen Bestand bei gleichabständiger Änderung des Arguments sich der Funktionswert um einen konstanten Faktor vergrößern soll, ist das ein Hinweis auf exponentielles Wachstum. Der Ansatz wäre dann allgemein |
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| 13.12.2013, 13:41 | Ghostwire | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Antwort! Gibt es denn auch eine rein "rechnerische" Lösung? Ich bin etwas raus aus der höheren Mathematik; könnte es sein, dass es sich bei von mir genannten Gleichung um eine Differentialgleichung handelt? |
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| 13.12.2013, 14:01 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was meinst Du mit "rein rechnerisch"? Wenn der Ansatz als solcher mal bekannt ist (woher auch immer), kann man ja z. B. schreiben Dann setzt man in die Ansatzfunktion ein, kürzt, bestimmt k etc. Da hier keine Ableitung von f vorkommt, muß man formal keine DGL lösen. |
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| 13.12.2013, 19:03 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
P. S.: Formuliert man z. B. allgemein ein Problem wie: "Die Änderung des Bestandes pro Zeitintervall ist proportional zum Bestand", also dann führt das auf eine Differentialgleichung, deren Lösung der obige Ansatz ist. Vielleicht meintest Du diesen rechnerischen Weg. |
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| 16.12.2013, 16:50 | Ghostwire | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die weiteren Ausführungen! Wie gesagt bin ich seit einiger Zeit raus aus gewissen Themen und musste den Ansatz erst mal verstehen. Mit den Erklärungen konnte ich es jetzt aber nachvollziehen. |
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| 16.12.2013, 21:46 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mein Ansatz dazu: f(x+5)=2*f(x) f(x+10)=2*f(x+5)=2^2*f(x) f(x+15)=2^3*f(x) usw., also f(x+5*n)=2^n*f(x) oder f(x+n)=2^(n/5)*f(x) Jetzt x=0 gesetzt, das ergibt f(n)=2^(n/5)*f(0) jetzt das n durch x ersetzt, ergibt f(x)=f(0)*2^(x/5) ============ Muss man hier eigentlich begründen, dass man das ganzzahlige n durch beliebiges x ersetzen kann ? |
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| 18.12.2013, 14:13 | Ghostwire | Auf diesen Beitrag antworten » |
(Sorry für die Latex-Verweigerung, aber ich hab mich noch nicht genug eingelesen.) Ich habe jetzt den Ansatz von klauss genommen und in die Gleichung f(x+5) / f(x) = 2 eingesetzt. Durch die entsprechende Umsetzung bin ich auf k = 1/5 * ln(2) gekommen, was dann als Ergebnisfunktion c0 * e ^ ( 1/5x * ln(2) ) liefert. Da gilt e ^ (x * ln(a)) = a^x ergibt sich durch Umrechnung die von mir gesuchte Funktion: c0 * 2 ^ (x/5) |
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