positiv definite Matrix - Eigenwerte

13.12.2013, 13:32

Knurpel

positiv definite Matrix - Eigenwerte

Meine Frage:
Eine Matrix A $\begin{eqnarray*} \in M \left(n \times n, \mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ heißt positiv definit, wenn für alle $\begin{eqnarray*} x \in R^{n} \{0} \end{eqnarray*}$ wir $\begin{eqnarray*} x^{T} Ax > 0 \end{eqnarray*}$ haben, wo wir mit $\begin{eqnarray*} B^{T} \end{eqnarray*}$ die Transponierte Matrix einer gegebenen Matrix B bezeichnen.
Zeigen sie, dass die Eigenwerte einer positiv definiten Matrix positiv sind.

Meine Ideen:
Mir fehlt hier irgendwie der Ansatz. Zunächst einmal eine Verständnisfrage: ist mit $\begin{eqnarray*} x^{T} Ax > 0 gemeint: (x1 x2 x3) \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} Tx^{n} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} > 0 ? \end{eqnarray*}$
Oder hab ich das falsch verstanden?

13.12.2013, 14:24

RavenOnJ

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RE: positiv definite Matrix - Eigenwerte
Üblicherweise werden Matrixelemente anders indiziert:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} a_{21}&a_{22}&a_{23} a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Knurpel
Mir fehlt hier irgendwie der Ansatz. Zunächst einmal eine Verständnisfrage: ist mit $\begin{eqnarray*} x^{T} Ax > 0 gemeint: (x1 x2 x3) \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} Tx^{n} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} > 0 ? \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung, was du da meinst. Hier ist auf alle Fälle folgendes gemeint:

$\begin{eqnarray*} y :=Ax=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} a_{21}&a_{22}&a_{23} a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist wiederum ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und letztendlich geht es um das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x^T\cdot y \end{eqnarray*}$ , für das gelten soll:
$\begin{eqnarray*} x^T\cdot y > 0,\forall x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Was gilt denn, wenn man eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf einen ihrer Eigenvektoren anwendet? Sei also $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ Eigenvektor, dann ist $\begin{eqnarray*} A v_1 = ? \end{eqnarray*}$

13.12.2013, 14:50

Knurpel

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Naja, da ja in der Aufgabenstellung x^T Ax steht, dachte ich, x^T soll der transponierte Eigenvektor sein, oder nicht?

Auf einen Eigenvektor angewendet ergibt sich immer die i-te Spalte der Matrix. Dass heißt füpr den Fall i=1 die erste Spalte. Aber was bringt mir das hier?

13.12.2013, 15:00

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Knurpel
Naja, da ja in der Aufgabenstellung x^T Ax steht, dachte ich, x^T soll der transponierte Eigenvektor sein, oder nicht?

Auf einen Eigenvektor angewendet ergibt sich immer die i-te Spalte der Matrix. Dass heißt füpr den Fall i=1 die erste Spalte. Aber was bringt mir das hier?

$\begin{eqnarray*} x^T \end{eqnarray*}$ ist irgendein transponierter Vektor. Und das mit der Anwendung der Matrix auf einen EV stimmt nicht. Informiere dich bitte!

13.12.2013, 15:55

Knurpel

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Oh, Verzeihung....war kurz verwirrt und hab Eigenvektor mit Einheitsvektor verwechselt....

In Wikipedia heißt es, dass x^T der Zeilenvektor ist, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor x hervorgeht....

Für den Eigenvektor gilt natürlich:

Av = $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ v

Aber wie hilft mir das weiter?

Ich muss ja glaube ich rigendwie diese Bedingung untersuchen:
$\begin{eqnarray*} x^{T} Ax > 0 \end{eqnarray*}$
um zu sehen, wie daraus folgt dass alle Eigenwerte positiv sind...

13.12.2013, 15:57

Knurpel

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Av = [Latex] \Lambda [/Lambda]

(konnte meinen eintrag nicht mehr bearbeiten leider)

13.12.2013, 19:52

RavenOnJ

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Es ist $\begin{eqnarray*} Av_1 = \lambda_1 v_1, v_1\small\text{ Eigenvektor zum Eigenwert }\lambda_1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt setze das zur geforderten Beziehung $\begin{eqnarray*} x^T A x > 0 \end{eqnarray*}$ . Was folgt für den EW $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2013, 20:26

Knurpel

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hmmm....also ich glaub ich steh echt gewaltig aufm Schlauch...

Meine Ansatz war jetzt:

Ax = $\begin{eqnarray*} \Lambda x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{T} Ax = x^{T} \Lambda x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^{T}A)x = (x^{T} \Lambda)x \end{eqnarray*}$

Hmmm....aber das scheint nicht wirklich zu was zu führen....
Ich weiß dann zwar, dass $\begin{eqnarray*} x^{T} \Lambda x \end{eqnarray*}$ positiv sein muss,
aber das heißt ja nicht zwangsläufig, dass Lambda positiv ist...

13.12.2013, 20:36

RavenOnJ

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Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^{T} Ax > 0\quad (*) \end{eqnarray*}$ soll für alle Vektoren gelten, nicht nur für Eigenvektoren. Dass $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ wieder ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, gilt nur für Eigenvektoren. Wenn du also schreibst
$\begin{eqnarray*} x^{T} Ax = x^T \lambda x\quad (**) \end{eqnarray*}$ , dann gilt so eine Gleichung nur für Eigenvektoren.

Wie kann man denn die Forderung (*) mit der Gleichung (**) verbinden? Was muss für den EW gelten? Und ist dir für das Skalarprodukt die Beziehung $\begin{eqnarray*} x^T x \ge 0 \end{eqnarray*}$ bekannt?

13.12.2013, 22:45

Knurpel

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Ja, dass stimmt zwar, dass sie für alle Vektoren gilt, aber das spielt doch hier an sich keine Rolle, oder? Ich will ja eine Aussage über die Eigenwerte treffen, und betrachte dazu die Eigenvektoren, und für die gilt diese Aussage dann ja auch?

Nein, diese Beziehung war mir nicht bekannt, aber mit ihr kann ich doch sage:
Für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Eigenraum von Ax gilt:
$\begin{eqnarray*} x^{T}Ax=x^{T}\lambda x=\lambda x^{T}x \geq 0 \end{eqnarray*}$
mit: $\begin{eqnarray*} x^{t}x\geq 0 \end{eqnarray*}$
gilt also

$\begin{eqnarray*} \lambda\geq 0 \end{eqnarray*}$

14.12.2013, 01:34

RavenOnJ

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Es ist eigentlich schon wichtig zu zeigen, dass die Positivität aller Eigenwerte äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R^3: x^TAx>0 \end{eqnarray*}$ . Da man aus den Eigenvektoren eine Basis des Vektorraums konstruieren kann falls keiner der Eigenwerte 0 ist, folgt diese Beziehung. Möglicherweise seit ihr aber noch nicht so weit, sodass ihr nur die Richtung
$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R^3: x^TAx>0\Rightarrow \small\text{ alle EW sind positiv} \end{eqnarray*}$
zeigen sollt.

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