Rekursive Folgen in Explizit

13.12.2013, 13:40

SchwirrenderKopf

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Rekursive Folgen in Explizit

Meine Frage:
1) Gegeben sei
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=qx_{n}+7000 \end{eqnarray*}$ mit x0=20000 d=7000 x12=33970

Gesucht: Koeffizient q und abhängigkeit von d, q, und x0

b) Zeigen Sie, dass der Koeffizient q die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(g):= 20000q^{13}-13000q^{12}-33970q+26970 = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt

c) Zeigen Sie, dass die in b) definierte Funktion f(q) im Intervall (0;7;0;9) das Vorzeichen wechselt.

2) Es sei die Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n=0;1;2;...} \end{eqnarray*}$ aus nichtnegativen Elementen gegeben durch $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{1}{1+2x_{n}}<br /> \end{eqnarray*}$ , n=1;2;... und x0
a) Bestimmen Sie die Reproduktionsfunktion g dieser Folge und ihren nichtnegativen Fixpunkt t.

Meine Ideen:
1)
Die explizite Formel müsste in der Form sein:
$\begin{eqnarray*} x_{n}= 20000*q^n+7000n \end{eqnarray*}$
Wenn ich dann aber n=12 x0=20000 und x12=33970 einsetze und nach x Auflöse komme ich auf $\begin{eqnarray*} 20000q^{12}=-50030 <br /> -q^{12}=2,5015<br /> q=-\sqrt[12]{2,5015} \end{eqnarray*}$
Aber nach weitern Rumrechnen bin ich zu dem Schluss gekommen, dass es falsch ist. Wo könnte der Fehler liegen? ohne q kann ich nicht weiterrechnen...

zu 2)
Auch hier versuche ich die Explizite Formel daraus zu bekommen, da ich annehme, dass ich sie für die Reproduktionsfunktion brauche - Wobei ich gestehen muss, dass ich nicht genau rausfinden kann was das überhaupt ist.
Aber kann ich das überhaupt lösen ohne ein x0 gegeben zu haben?
Auch hier gilt, kann ohne diese Reproduktionsfunktion nicht weiter machen...

Danke für Tipps und Tricks smile

smile

13.12.2013, 13:47

HAL 9000

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Obsoleter Parameter?
Die Folge besitzt keine erkennbare Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ - dient die Angabe von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ also nur der Verwirrung, oder hast du die Rekursion falsch aufgeschrieben? verwirrt

verwirrt

13.12.2013, 13:52

SchwirrenderKopf

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d=7000
da $\begin{eqnarray*} x_{n+1} =qx_{n}+d \end{eqnarray*}$
Das hab ich vergessen anzugeben, entschuldige

13.12.2013, 13:59

HAL 9000

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Im Fall $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} x_n = x_0 + 7000n \end{eqnarray*}$ , was wegen $\begin{eqnarray*} x_{12} = 33970 \neq 104000 = x_0 + 7000\cdot 12 \end{eqnarray*}$ nicht stimmen kann.

Also ist $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ , und wir erhalten mit Ansatz $\begin{eqnarray*} x_n = y_n+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{n+1}+C = qy_n + qC+7000 \end{eqnarray*}$ .

Wir wählen $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nun so, dass $\begin{eqnarray*} C = qC+7000 \end{eqnarray*}$ gilt, also $\begin{eqnarray*} C=\frac{7000}{1-q} \end{eqnarray*}$ . Es bleibt übrig die geometrische Folge

$\begin{eqnarray*} y_{n+1} = qy_n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y_n = q^n y_0\qquad (*) \end{eqnarray*}$

mit Startwert $\begin{eqnarray*} y_0 = x_0-C = 20000-\frac{7000}{1-q} \end{eqnarray*}$ sowie Wert $\begin{eqnarray*} y_{12} = x_{12}-C = 33970-\frac{7000}{1-q} \end{eqnarray*}$ . Über (*) sind beide miteinander verknüpft.

P.S.: Im allgemeinen Fall $\begin{eqnarray*} x_0,x_n,d \end{eqnarray*}$ kann ggfs. natürlich auch der erstgenannte (hier wegen der speziellen Parameter ausgeschlossene) Fall $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x_n = x_0 + nd \end{eqnarray*}$ auftreten, also eine arithmetische Folge.

13.12.2013, 14:20

SchwirrenderKopf

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mh, ok. Eine ganz andere Vorgehensweise.

Geometrische Reihe, da q ungleich 1 ist.
Aber wo bekommst du die Formel $\begin{eqnarray*} x_n = y_n+C \end{eqnarray*}$ her?
Habe das so noch nicht gesehen und auch im Skript nicht stehen.
Ich kann deine Schritte zwar nachvollziehen, aber könnte das nicht selbst durchführen.
Hat das Verfahren oder die Formel einen Namen? Ich würde mich gerne mal einlesen, wieso du das alles machst.
Wenn ich y0 und y12 in $\begin{eqnarray*} y_n = q^n y_0\qquad \end{eqnarray*}$ einsetze kommt die Formel aus b) raus, damit ist sie wohl eher als Hilfestellung angegeben.
Da sich diese Gleichung nicht durch arthimetrisches umstellen lösen lässt, nehme ich an, dass es auch in dieser Aufgabe nicht gefragt ist, q zu bestimmen.

13.12.2013, 14:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
Aber wo bekommst du die Formel $\begin{eqnarray*} x_n = y_n+C \end{eqnarray*}$ her?

Erlaubt ist, was klappt - das "woher" ist uninteressant.

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13.12.2013, 14:36

SchwirrenderKopf

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Sehe ich das richtig, dass du $\begin{eqnarray*} y_{n+1}+C = qy_n + qC+7000 \end{eqnarray*}$ gewissermaßen zerlegst in $\begin{eqnarray*} C = qC+7000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{n+1} = qy_n \end{eqnarray*}$ ?
Und wieso gilt $\begin{eqnarray*} y_0 = x_0-C \end{eqnarray*}$ ?

Gibt es noch andere Möglichkeiten an das Ergebnis zu kommen zB mit der Fomel $\begin{eqnarray*} S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-n} \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2013, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
Sehe ich das richtig, dass du $\begin{eqnarray*} y_{n+1}+C = qy_n + qC+7000 \end{eqnarray*}$ gewissermaßen zerlegst in $\begin{eqnarray*} C = qC+7000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{n+1} = qy_n \end{eqnarray*}$ ?

Ja: Ich "verschiebe" die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ um einen konstanten Betrag derart, dass die verschobene Folge $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ eine geometrische Folge wird, die dann leicht zu behandeln ist. Das dies klappt, zeigt der Rechenweg, und der Erfolg gibt einen im Nachhinein Recht, ohne das man groß über das warum/woher/wieso debattieren muss. Wichtig ist nur, dass dies im Fall $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ offenbar nicht klappt, deswegen der "Vorspann".

Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
Und wieso gilt $\begin{eqnarray*} y_0 = x_0-C \end{eqnarray*}$ ?

Nun, aus $\begin{eqnarray*} x_n = y_n+C \end{eqnarray*}$ folgt durch einfaches Umstellen $\begin{eqnarray*} y_n = x_n-C \end{eqnarray*}$ , das gilt natürlich auch für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=12 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
Gibt es noch andere Möglichkeiten an das Ergebnis zu kommen zB mit der Fomel $\begin{eqnarray*} S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-n} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, kannst du gerne tun, aber ohne mich - das ist mir zu aufwändig. Big Laugh

Big Laugh

13.12.2013, 14:47

SchwirrenderKopf

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Wow, das hat es auf jeden Fall schon etwas klarer gemacht.
Ein Gedanke ist mir noch gekommen:

ist $\begin{eqnarray*} \frac{d}{1-q} \end{eqnarray*}$ nicht zur Berechnung der Summer einer unendlichen Reihe?
Wieso gilt dann $\begin{eqnarray*} x_n = y_n+C \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2013, 14:58

HAL 9000

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Schlag dir endlich dieses "gilt" aus dem Kopf: $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ wird durch diese Verschiebung doch erst definiert, da muss nichts weiter gelten. Mit dieser Definition folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ geometrisch ist - also bitte nicht die Kausalitäten derart durcheinanderwürfeln, wie du es anscheinend immer noch tust.

13.12.2013, 15:03

SchwirrenderKopf

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Ah, ok... Nachdem ich es mir noch etwas bewusst gemacht habe, denke ich jetzt weiß ich so ungefähr was es damit auf sich hat...
Bei Folgen stehe ich manchmal noch sehr auf dem Schlauch...

Gut, damit wäre die erste Aufgabe soweit klar...
Vielen Dank dass du dir so viel Zeit zum erklären genommen hast.

14.12.2013, 08:38

etzwane

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Zu 1)
Die Aufgabe ist formuliert als Differenzengleichung, darum habe ich die Aufgabe zuerst auch so angefasst und gerechnet, kam damit auf die gleichen Bestimmungsgleichungen wie HAL 9000 und konnte q zu q=0,8 bestimmen.

Einen vielleicht leichteren Zugang zur Lösung erhält man, wenn man die ersten Glieder der Folge mit den gegebenen Zahlen aufschreibt, also

x(0)=20000
x(1)=q*20000+7000
x(2)=q^2*20000+q*7000+7000
x(3)=q^3*20000+q^2*7000+q*7000+7000
usw. und erhält eine Gleichung, die aus der Rentenberechnung bekannt sein dürfte:
x(n)=20000*q^n+7000*(q^n-1)/(q-1)

Aus x(12)=33970 kann ebenfalls der Koeffizient q zu q=0,8 ermittelt werden, und für die Glieder der Folge erhält man
x(n)=35000-15000*0,8^n

Vielleicht interessiert es ja noch den einen oder anderen.

14.12.2013, 08:52

HAL 9000

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etwas Haarspalterei...
Na sagen wir $\begin{eqnarray*} q\approx 0.8 \end{eqnarray*}$ , denn genau kommt es ja nicht hin (wenn auch verdammt nah dran).

Für 0.8 hätte $\begin{eqnarray*} x_{12}=33969.20784896 \end{eqnarray*}$ sein müssen, d.h. selbst auf ganze Zahlen gerundet wäre es eher 33969 als 33970 gewesen. Big Laugh

Big Laugh

14.12.2013, 08:59

etzwane

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Zu 2)
Die Bestimmung des allgemeinen Gliedes der Folge mit x(n+1)=1/(1+2x(n)) mit nicht explizit gegeben x(0) dürfte schon etwas schwieriger sein, da man nach Aufschreiben der ersten Glieder der Folge für x(0)=1, 2 usw. nicht so ohne weiteres ein Bildungsgesetz erkennen kann, ich jedenfalls nicht.

Darum wirde versucht, die Folge zu vereinfachen.

Erster Ansatz: y(n)=2*x(n), das führt zu y(n+1)=2/(1+y(n))
Zweiter Ansatz: z(n)=1+y(n), das führt zu z(n+1)=1+1/z(n)

Die Folge z(n+1)=1+1/z(n) ist schon wesentlich besser zu überblicken, die ersten Glieder der Folge sind
mit z.B. z(0)=2

z(0)=2
z(1)=1+1/2=3/2
z(2)=1+2/3=5/3
z(3)=1+3/5=8/5
z(4)=1+5/8=13/8
z(5)=1+8/13=21/13
usw.
Hier kann man schon das typische Bildungsgesetz für die Fibonacci-Zahlen 2,3,5,8,13,21 usw. erkennen, so dass man mit dem Ansatz z(n)=a(n)/b(n) für Zähler und Nenner die Differenzengleichungen erhält

a(n)=a(n-1)+a(n-2) mit a(1)=z(0)+1
b(n)=b(n-1)+b(n-2) mit b(1)=z(0)

Wer will, kann das ja mal durchrechnen.

Vielleicht ist dies ja von Interesse für den einen oder anderen.

14.12.2013, 09:14

etzwane

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RE: etwas Haarspalterei...

Zitat:

Original von HAL 9000
Na sagen wir $\begin{eqnarray*} q\approx 0.8 \end{eqnarray*}$ , denn genau kommt es ja nicht hin (wenn auch verdammt nah dran).

Für 0.8 hätte $\begin{eqnarray*} x_{12}=33969.20784896 \end{eqnarray*}$ sein müssen, d.h. selbst auf ganze Zahlen gerundet wäre es eher 33969 als 33970 gewesen. Big Laugh

Big Laugh

Stimmt, da war ich wirklich sehr nachlässig ....

14.12.2013, 09:22

HAL 9000

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Wie gesagt, Haarspalterei.

Dein vorletzter Beitrag oben sollte wohl in einen anderen Thread, nicht wahr? Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.12.2013, 09:30

etzwane

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RE: Rekursive Folgen in Explizit
Eigentlich nicht, ich hatte mir nur die Aufgabe 2) von SchwirrenderKopf vorgenommen

Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
Meine Frage:

2) Es sei die Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n=0;1;2;...} \end{eqnarray*}$ aus nichtnegativen Elementen gegeben durch $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{1}{1+2x_{n}}<br /> \end{eqnarray*}$ , n=1;2;... und x0
a) Bestimmen Sie die Reproduktionsfunktion g dieser Folge und ihren nichtnegativen Fixpunkt t.

14.12.2013, 09:32

HAL 9000

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Achso - hatte ich gar nicht mitgekriegt, dass da noch eine zweite war. Big Laugh

Big Laugh

14.12.2013, 13:40

SchwirrenderKopf

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Oh, vielen Dank für den Lösungsansatz. Ich versuche das mal für mich durchzurechnen.

In unserem Skript habe ich unter: Regressionsmodell folgende Formel gefunden:
$\begin{eqnarray*} g(x)= x-\frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

Daraus schließe ich, dass ich wohl eine Explizite Form benötige, eine rekursive Formel kann ich ja nicht als Funktionsgleichung formulieren und ableiten, oder?

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