Berechnung der Länge einer Parabelsehne

13.12.2013, 14:12

Tschekyk

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Berechnung der Länge einer Parabelsehne

Edit (mY+): Thementitel modifiziert. Eine Parabel kann keine Länge haben!

Hallo,

ich muss die Länge zwischen zwei Punkten meiner Parabel berechnen.

A(a , F(a) ) und B(b, F(b)) sind Punkte auf einer Parabel mit der Funktion

f(x)=x^2/120.

L(a,b)=Integral (1+(f'(x))²)dx)
und
f^' (x)=1/60 x

=Integral ((1+x²/3600)^0,5dx )

und weiter weiss ich nicht weiter?!

Danke für die Hilfe.

13.12.2013, 14:55

Steffen Bühler

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RE: Berechnung einer Länge einer Parabel f(x)=x²/3600
Herzlich willkommen im Matheboard!

Denk an die Kettenregel.

Viele Grüße
Steffen

13.12.2013, 16:20

Tschekyk

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RE: Berechnung einer Länge einer Parabel f(x)=x²/3600
ja aber ich habe sie wohl falsch angewandt:

unzwar bekomme ich dies raus:

=[1200/x * (1+x²/3600)³ ]

wenn ich dort die Grenzen 10 und 0 einsetze erhalte ich 130, was einfach nicht sein kann. Irgendwo habe ich einen Rechenfehler. Könntest du es mir vielleicht vorrechnen?

Lieben Gruß und danke auf jeden Fall für die schnelle Antwort:-)

13.12.2013, 16:23

Steffen Bühler

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RE: Berechnung einer Länge einer Parabel f(x)=x²/3600
Ja, da ist wohl was schiefgelaufen, aber das bekommen wir schon hin.

Was ist denn hier die äußere und die innere Funktion?

13.12.2013, 16:29

klarsoweit

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RE: Berechnung der Länge einer Parabel

Zitat:

Original von Tschekyk
L(a,b)=Integral (1+(f'(x))²)dx)

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} L(a,b) = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} ~dx \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Wurzel hilft nur eine Transformation auf ein bekanntes Grundintegral.

13.12.2013, 16:30

Cheftheoretiker

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RE: Berechnung einer Länge einer Parabel f(x)=x²/3600
Wenn du die Bogenlänge berechnen möchtest benutzt du $\begin{eqnarray*} \int\sqrt{1+[f'(x)]^2}~dx \end{eqnarray*}$ . In deinem Post hast du die Wurzel vergessen.

Beste Grüße! smile

smile

edit: zu spät...

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13.12.2013, 16:37

Steffen Bühler

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RE: Berechnung einer Länge einer Parabel f(x)=x²/3600
Kurze Anmerkung an die beiden "Helfershelfer":

Da zum Schluss von dem korrekten

Zitat:

Integral ((1+x²/3600)^0,5dx )

die Rede war, halte ich das vorherige

Zitat:

Integral (1+(f'(x))²)dx)

für einen Flüchtigkeitsfehler und bin gar nicht erst darauf eingegangen. Danke dennoch für Eure Aufmerksamkeit!

EDIT: Allerdings habe ich selber einen Fehler gemacht, indem ich von der Kettenregel geredet habe, aber die Substitutionsregel gemeint habe...

Viele Grüße
Steffen

13.12.2013, 16:41

Tschekyk

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Was meinst du mit innerer und äußerer Funktion?

13.12.2013, 16:46

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Tschekyk
Was meinst du mit innerer und äußerer Funktion?

Verzeihung, ich war aus irgendeinem Grund beim Ableiten, nicht beim Integrieren. Daher meinte ich natürlich auch nicht die Kettenregel. Hier hat klarsoweit auch schon einen Tipp gegeben.

Viele Grüße
Steffen

13.12.2013, 16:57

Tschekyk

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Ja, aber welches Grundintegral. Ich meine, die Sache wäre auch einfach, wenn in der Klammer das x nicht quadtratisch wäre. Wenn es nur ein x wäre, dann könnte man die Sache schnell lösen.

denn intergeriert man beispielsweise diese Gleichung auf:

f(x)= (2+5x)³
erhält man:
F(x)=1/4*(2+5x)^4*1/5= 1/20*(2+5x)^4

aber was mache ich bei einer quadtratischen?

13.12.2013, 17:05

Steffen Bühler

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Meine Formelsammlung gibt dieses her:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt {x^2+a^2} \, dx = \frac x2 \sqrt {x^2+a^2} + \frac {a^2}2 \ln (x + \sqrt {x^2+a^2}) + C \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

13.12.2013, 17:11

Tschekyk

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das ist schon mal eine gute Hilfe.

WEnn nun vor dem x noch ein Faktor steht, müsste es wie folgt lauten, oder?:

Integral (bx²+a²)dx = bx/2 + Wurzel (x²*b+a²) + a²/2*ln[bx+Wurzel(x²b+a²)]+c

??

13.12.2013, 17:26

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Tschekyk
WEnn nun vor dem x noch ein Faktor steht

...dann würde ich den herausziehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {bx^2+a^2}= \sqrt {b \left( x^2+\frac {a^2}b \right) } = \sqrt b \sqrt {x^2+\frac {a^2}b} \end{eqnarray*}$

13.12.2013, 17:36

Cheftheoretiker

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RE: Berechnung der Länge einer Parabel
Bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{120}x^2 \end{eqnarray*}$ lautet die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{60}x \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt in $\begin{eqnarray*} \int\sqrt{1+[f'(x)]^2}~dx \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{1+\frac{x^2}{3600}}~dx \end{eqnarray*}$ Beides auf einen Nenner gebracht und etwas gekürzt erhält man $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{60}\sqrt{3600+x^2}~dx \end{eqnarray*}$ Nun wählst du die Substitution $\begin{eqnarray*} x=60\tan(t) \end{eqnarray*}$

Wir erhalten demnach: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{60}\int\sqrt{3600+3600\tan^2(t)}\cdot 60\sec^2(t)~dt \end{eqnarray*}$ Nun wird etwas zusammengefasst und der Ausdruck unter der Wurzel mit der Identität $\begin{eqnarray*} \tan^2+1=\sec^2 \end{eqnarray*}$ vereinfacht und wir erhalten schlussendlich: $\begin{eqnarray*} \int 60\sec^3(t)~dt \end{eqnarray*}$

Entweder schaust du nun in die Formelsammlung oder du versuchst weiter zu vereinfachen oder wenn du es auf die ganz harte Tour möchtest bearbeitest du das Integral per partielle Integration.

Beste Grüße!

13.12.2013, 18:05

Tschekyk

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RE: Berechnung der Länge einer Parabel
kann mir jemand die exakte Lösung sagen unglücklich

unglücklich

? ich komme einfach nicht drauf unglücklich

unglücklich

und verzweifel mittlerweile totaaaaal.

13.12.2013, 18:18

riwe

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RE: Berechnung der Länge einer Parabel
nicht verzweifeln Augenzwinkern

Augenzwinkern

die standardsubstitution wäre hier

$\begin{eqnarray*} u = sinh\frac{x}{60} \end{eqnarray*}$

was dann einfach mit partieller integration zu lösen ist

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