Hoch und Tiefpunkt

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Hendrix09 Auf diesen Beitrag antworten »
Hoch und Tiefpunkt
Hallo,

ich habe eine Aufgabe da ist folgende Funktion gegeben:

Jetzt soll ich begründen warum gerade Funkionen immer einen Hoch oder Tiefpunkt auf der Y-Achse haben bzw. widerlegen, dass das nicht so ist.

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung. Kann mir das vielleicht jemand erklären? Wie sehe das dann eigentlich bei ungeraden Exponenten aus?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hast du schon einmal die Funktion abgeleitet ?

Ist die , wenn ist ? Wenn ja warum ist das so ? Beziehungsweise wann ist das nicht der Fall ?

Danach muss man noch ausschließen, dass ein Sattelpunkt vorliegt.
Grüße.
Hendrix09 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben leider noch keine Ableitungen in der Schule, so weit sind wir noch nicht, daher kann ich die Funktion nicht ableiten.
Ich würde jetzt einfach sagen, dass der Hochpunkt der höchste Punkt ist, den die Kurve erreicht und der Tiefpunkt eben der tiefste Punkt.
Aber ich weiß jetzt nicht wie ich das formulieren soll bzw. begründen soll, warum das gerade auf die o.g. Funktion zutrifft.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hendrix09
Jetzt soll ich begründen warum gerade Funkionen immer einen Hoch oder Tiefpunkt auf der Y-Achse haben bzw. widerlegen, dass das nicht so ist.

Gerade Polynomfunktionen: Da stimmt es.

Allgemeine gerade (von mir aus stetig differenzierbare) Funktionen: Da stimmt es nicht.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hendrix09

Ich würde jetzt einfach sagen, dass der Hochpunkt der höchste Punkt ist, den die Kurve erreicht und der Tiefpunkt eben der tiefste Punkt.


So kann man das nicht sagen. Hochpunkte und Tiefpunkte sind nur lokale Extrema. Bei Hoch- und Tiefpunkten ist nur verlangt, dass sie die höchsten bzw. tiefsten Punkte in ihrer Umgebung sein müssen.

Man kann aber mit der Achsensymmetrie argumentieren. Wenn für eine Funktion f(-x)=f(x) gilt, dann ist sie achsensymmetrisch. Das kannst du ja mal überprüfen.

Daraus folgt, dass bei ein Extrempunkt ist.

Denn .
ist ein kleiner Wert, der zu addiert wird, beziehungsweise der von subtrahiert wird.

Des Weiteren ist ungleich bzw. . Das heißt, weicht man von etwas ab, hat man einen anderen Funktionswert als bei .

Somit ist in immer in Tief- der Hochpunkt, da die y-Werte in der Umgebung entweder immer kleiner oder aber immer größer sind als .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kasen75
da die y-Werte in der Umgebung entweder immer kleiner oder aber immer größer sind als .

Und genau das ist für beliebige gerade Funktionen falsch, selbst wenn man stetige Differenzierbarkeit fordert - Gegenbeispiel: Die gerade Funktion



hat in jeder noch so kleinen Umgebung des Nullpunktes sowohl positive als auch negative Funktionswerte.

EDIT: Da auch Dopap (s.u.) das Gegenbeispiel ignoriert, hier doch noch ein Bildchen:

 
 
Hendrix09 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann man sagen, dass eine Funktion die nur gerade Exponenten hat, die ja dann achsensymmetrisch ist, immer einen Hoch- und Tiefpunkt haben?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Kasen75
da die y-Werte in der Umgebung entweder immer kleiner oder aber immer größer sind als .

Und genau das ist für beliebige gerade Funktionen falsch, selbst wenn man stetige Differenzierbarkeit fordert - Gegenbeispiel: Die gerade Funktion ...


Wir sind bei Polynomen. smile

Zitat:
Original von Hendrix 08
Also kann man sagen, dass eine Funktion die nur gerade Exponenten hat, die ja dann achsensymmetrisch ist, immer einen Hoch- und Tiefpunkt haben?


Polynome mit nur geraden Exponenten haben immer einen Hoch- oder Tiefpunkt in . An der Stelle verläuft die y-Achse. Der Extrempunkt ist somit nicht irgendwo.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kasen75
Wir sind bei Polynomen. smile

Lies dir bitte genau die Formulierungen von Hendrix09 durch, und dann auch noch meinen Beitrag von 15:58 . Augenzwinkern

Auch an deinem Beweis kann ich nicht erkennen, wo da die Voraussetzung Polynome genau eingeht: Die Argumentation liest sich so, als gelte das geschriebene für beliebige gerade Funktionen. verwirrt
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal 9000

Ich bin jetzt, aufgrund der bis jetzt vorgebrachten Vorkenntnisse von Hendrix 08, von Polynomen ausgegangen.

Die Argumentation wird ja sonst schwierig.

Edit: Wenn man es nicht zwingend um Polynome geht, kann man es sich insofern einfach machen, dass man eine gerade Funktion mit einer Polstelle bei angibt:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht schwierig, sondern unmöglich (siehe Gegenbeispiel).

Andererseits ermöglicht es die Voraussetzung "Polynome", die Argumentation für diesen Fall sauber durchzuführen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Argumentation von Kasen75 würde ja auch für f(x)=|x|+1 gelten, da Symmetrie vorliegt. Und auch ein "geknickter" Extrempunkt ist ein relatives Extremum.

Wenn man nun Differenzierbarkeit (beim Polynom ) voraussetzt, dann müsste der Knick verschwinden. Nur ist diese Voraussetzung nicht gesichert.

egal wie: ein rel. Extremum scheint gesichert. oder ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Beweise für allgemeine gerade Funktionen - auch mit Voraussetzung stetiger Differenzierbarkeit - sind zum Scheitern verurteilt, das sollte das Beispiel von oben doch nun wirklich gezeigt haben. Augenzwinkern


Für Polynome könnte man so argumentieren: Eine nichtkonstante gerade Polynomfunktion besitzt die Darstellung



mit einer ganzen Zahl sowie einer (ebenfalls geraden) Polynomfunktion mit .

Da auch stetig ist, gibt es insbesondere ein mit

a) im Fall bzw.
b) im Fall

für alle . Mit (*) ist dann klar, dass in a) ein Tiefpunkt und in b) ein Hochpunkt bei vorliegt.
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