Logarithmusgesetz Herleitung

13.12.2013, 16:04

frosch95

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Logarithmusgesetz Herleitung

Meine Frage:
Ich soll das Logarithmusgesetz $\begin{eqnarray*} log _{a}(b) * log_{b}(u)=log_{a}(u) \end{eqnarray*}$ herleiten.

Meine Ideen:
Ich habe allerdings nicht wirklich viele Ideen wie das gehen soll. Habe mir bereits meine alte Formelsammlung angesehen, aber das hat mir nicht weitergeholfen.
Kann mir hier vlt. einer weiterhelfen?

13.12.2013, 16:14

klarsoweit

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RE: Logarithmusgesetz Herleitung
Zeige erstmal die Gültigkeit dieser Gleichung: $\begin{eqnarray*} a^{log_a(b) * log_b(u)} =a^{log_a(u)} \end{eqnarray*}$

13.12.2013, 16:18

frosch95

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RE: Logarithmusgesetz Herleitung
also ich weiß, dass ich das ganze in $\begin{eqnarray*} {log_a(b^a) * log_b(u)} ={log_a(u^a)} \end{eqnarray*}$ umformen kann.

weiter weiß ich aber auch nicht

13.12.2013, 16:32

klarsoweit

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RE: Logarithmusgesetz Herleitung
Ich weiß jetzt nicht, wie du darauf gekommen bist. Fangen wir erstmal mit der rechten Seite an: $\begin{eqnarray*} a^{log_a(u)} \end{eqnarray*}$ . Das sollte ja wohl kein Problem sein, weil das direkt mit der Definition des Logarithmus zu tun hat. smile

smile

13.12.2013, 16:33

frosch95

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$\begin{eqnarray*} log _{a}(b) * log_{b}(u)=log_{a}(u) \end{eqnarray*}$
kann ich umformen zu $\begin{eqnarray*} \frac{log _{a}(u) }{log_{a}(b)} = log_{b}(u) \end{eqnarray*}$ Laut wikipedia nennt sich das Basisumrechnung, nur verstehe ich das nicht.

ist es nicht ein logarithmusgesetz, dass wenn etwas vor dem logarithmus steht das gleiche ist, als würde der die zahl vor dem log als potenz der zahl im logarithmus stehen? also $\begin{eqnarray*} x*log _{a}(b)=log _{a}(b^x) \end{eqnarray*}$

13.12.2013, 16:37

klarsoweit

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RE: Logarithmusgesetz Herleitung
Deswegen wollen wir das ja auch beweisen, indem wir die Gültigkeit dieser Gleichung zeigen: $\begin{eqnarray*} a^{log_a(b) * log_b(u)} =a^{log_a(u)} \end{eqnarray*}$

Dazu wird jede Seite so umgeformt, daß man erkennt, daß die Seiten tatsächlich gleich sind. Hinweis: für die rechte Seite gibt es einen ziemlich trivialen Ausdruck. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von frosch95
ist es nicht ein logarithmusgesetz, dass wenn etwas vor dem logarithmus steht das gleiche ist, als würde der die zahl vor dem log als potenz der zahl im logarithmus stehen? also $\begin{eqnarray*} x*log _{a}(b)=log _{a}(b^x) \end{eqnarray*}$

Ja, das kannst du auch nutzen.

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13.12.2013, 16:40

frosch95

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ich hatte deine gleichung falsch gelesen

der rechte teil ist entweder a oder u, stimmts?

13.12.2013, 16:42

klarsoweit

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Einigen wir uns auf u. Wie gesagt: das ist die Definition des Logarithmus. smile

smile

13.12.2013, 16:45

frosch95

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u, weil meine basis a ist, und die basis vom logarithmus auch a ist oder weil der logarithmus im exponenten steht und sich somit wegkürzt? oder beides?

13.12.2013, 16:50

klarsoweit

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u, weil das einfach die Definition des Logarithmus ist. Mehr braucht man da nicht sagen.

13.12.2013, 16:53

frosch95

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RE: Logarithmusgesetz Herleitung
ok.
$\begin{eqnarray*} a^{log_a(b) * log_b(u)} \end{eqnarray*}$ die seite muss ja dann auch irgendwie u ergeben, wenn das auf der anderen seite u ist. ist ja schließlich ne gleichung.
kann ich das einfach so machen $\begin{eqnarray*} a^{log_a(b) * log_b(u)}=b^{ log_b(u)} = u \end{eqnarray*}$ quasi zwei mal die logarithmusdefinition anwenden?

13.12.2013, 17:13

frosch95

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ich weiß nicht, was mir das bei meinem problem weiterhelfen soll

13.12.2013, 17:22

frosch95

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$\begin{eqnarray*} \frac{log _{a}(u) }{log_{a}(b)} = log_{b}(u) \end{eqnarray*}$ Kann ich hier im Bruch nicht den Logarithmus rauskürzen, sodasss da steht $\begin{eqnarray*} \frac{u}{b} = log_{b}(u) \end{eqnarray*}$

13.12.2013, 17:36

frosch95

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ok vergessen wir das letzte

16.12.2013, 08:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von frosch95
kann ich das einfach so machen $\begin{eqnarray*} a^{log_a(b) * log_b(u)}=b^{ log_b(u)} = u \end{eqnarray*}$ quasi zwei mal die logarithmusdefinition anwenden?

Ja, hier liegt ein Potenzgesetz zugrunde:

$\begin{eqnarray*} a^{log_a(b) * log_b(u)} = \left(a^{log_a(b)} \right)^{log_b(u)} = b^{ log_b(u)} = u \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von frosch95
ich weiß nicht, was mir das bei meinem problem weiterhelfen soll

Ganz einfach: wenn $\begin{eqnarray*} a^x = a^y \end{eqnarray*}$ ist, dann ist x = y. smile

smile

16.12.2013, 09:47

frosch95

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OK. Danke erstmal soweit. Wenn ich noch eine Frage habe, dann melde ich mich wieder. smile

smile

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