Wie beweise ich die Homogenität und die Dreiecksgleichung? - Seite 2

15.12.2013, 14:02

mr.sat

und das war doch auch die ganze zeit mein Problem...
dass es um zwei beliebige Vektoren geht, habe ich mir schon gedacht

15.12.2013, 14:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
aber ich habe in b und in d doch nur einen beliebigen Vektor. über den zweiten weiß ich ja nix

Und deswegen ist der zweite Vektor auch beliebig zu halten.

15.12.2013, 14:06

mr.sat

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ja schon klar, aber ich weiß nicht, was ich wo wie einsetzen soll. sonst würde ich nicht immer noch an meinen Hausaufgaben sitzen... traurig

15.12.2013, 14:22

Che Netzer

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Für ganz beliebige $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=(y_1,y_2,y_3) \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert\leq\lVert x\rVert+\lVert y\rVert \end{eqnarray*}$ gelten. Da gibt es keine konkreten Werte einzusetzen. Nur die jeweilige Definition von $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert \end{eqnarray*}$ .

15.12.2013, 14:28

mr.sat

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kannst du mir das einmal an einer Aufgabe zeigen? sonst werde ich das wohl heute nie begreifen. ich habe jetzt bei allen aufgaben die 1.+2.Eigenschaft be-/widerlegt. mir fehlt einfach nur noch die dritte...

15.12.2013, 14:40

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
ich habe jetzt bei allen aufgaben die 1.+2.Eigenschaft be-/widerlegt.

Und wie hast du die Eigenschaften nachgewiesen? Du hast vermutlich einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eingesetzt (mit allen drei Komponenten) und gezeigt, dass dafür die resultierenden Gleichungen gelten. Nun nimm dir außerdem noch einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , der wieder aus drei reellen Komponenten besteht.

Zunächst einmal rechne ich hier nichts vor und außerdem solltest du es schon selbst schaffen, einen Vektor beliebig zu wählen.

Wie würdest du denn $\begin{eqnarray*} (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beweisen? Hier hast du nur $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu stehen und eine etwas anders aussehende Relation.

15.12.2013, 15:05

mr.sat

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ernsthaft, ich hab null Ahnung, wie das gehen soll. das mit der 1+2.eigenschaft habe ich einfach so gemacht, wie in a), wo du mir gezeigt hast, wie das geht.

15.12.2013, 15:08

mr.sat

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und, wenn das ja so einfach wäre, würde ich hier nicht mehr sitzen....
ich bitte dich ja nicht darum, mir alles vorzurechnen, sondern nur bei einer teilaufgabe das zu zeigen, damit ich die anderen aufgaben auch selbst machen kann... traurig

15.12.2013, 15:14

Che Netzer

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Vielleicht mal lieber für $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert:=\lvert x_2\rvert \end{eqnarray*}$ .
Dann ist für $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert=\lvert x_2+y_2\rvert\leq\lvert x_2\rvert+\lvert y_2\rvert=\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\,. \end{eqnarray*}$

15.12.2013, 15:25

mr.sat

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aber wieso ist denn
$\begin{eqnarray*} |y_2| = ||y|| \end{eqnarray*}$ in den letzten Teil?
ich habe doch nur gegeben
$\begin{eqnarray*} ||x|| = |x_2| \end{eqnarray*}$
aber nicht zusätzlich
$\begin{eqnarray*} ||y|| = |y_2| \end{eqnarray*}$

15.12.2013, 15:27

Che Netzer

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Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der Definition von $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert \end{eqnarray*}$ ist doch aber nicht fest.
Wenn du eine Funktionsvorschrift $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ gegeben hast, kannst du ja auch $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(5)=25 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(2x)=4x^2 \end{eqnarray*}$ angeben.

15.12.2013, 15:41

mr.sat

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habe ich dann für b)

$\begin{eqnarray*} ||x+y|| = |x_1+y_1+x_2+y_2| + |x_3+y_3| \leq |x_1 + x_2| + |y_1 + y_2| + |x_3| + |y_3| = ||x|| + ||y|| \end{eqnarray*}$

15.12.2013, 15:42

Che Netzer

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Ja.

15.12.2013, 15:51

mr.sat

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ich hab jetzt für b)

1. $\begin{eqnarray*} ||x|| = 0 = |0+0|+|0|<br /> x = (0,0,0) = 0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} ||\lambda*x|| = |\lambda*x_1+\lambda*x_2| + |\lambda*x_3| = |\lambda|*|x_1+x_2| + |\lambda|*|x_3| = |\lambda|*(|x_1+x_2| + |x_3|) = |\lambda|*||x|| \end{eqnarray*}$
3. s.o.

alle Normeigenschaften genügen der Abbildung c ?

15.12.2013, 16:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
1. $\begin{eqnarray*} ||x|| = 0 = |0+0|+|0|<br /> x = (0,0,0) = 0 \end{eqnarray*}$

Hier stehen nur ein paar Gleichungen. Was sollen diese aussagen?

15.12.2013, 16:31

mr.sat

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dass die definitheit gilt

15.12.2013, 16:41

Che Netzer

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Wieso? Zwei einzelne Gleichungen sind keine Begründung. Eine Antwort/ein Beweis sollte ein Text sein, in dem dann natürlich Gleichungen auftreten können. Inwiefern sollen diese Formeln deine Behauptung beweisen?

15.12.2013, 16:45

mr.sat

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ich habe doch nur das gleiche gemacht, wie bei der a)
ich weiß jetzt nicht, was daran jetzt falsch sein soll

15.12.2013, 16:49

Che Netzer

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Es lässt sich noch gar nicht sagen, ob irgendetwas falsch ist. Bisher hast du nur kommentarlos zwei Gleichungen aufgeschrieben. Wie hängen die zusammen? Welche davon wird angenommen/gefolgert/...?

Ansonsten könnte ich jetzt überall die beiden Zeilen
$\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
hinschreiben und behaupten, dass ich überall die Definitheit nachgewiesen hätte.

15.12.2013, 17:22

mr.sat

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ich habe ja gegeben, dass die 1.Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} ||x||=0 , x=0 \end{eqnarray*}$
gelten muss
und wenn
$\begin{eqnarray*} ||x|| = 0 \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} ||x|| = (x_1^2 + x_2^2)^(0,5) = (0^2+0^2)^0,5 \end{eqnarray*}$ gelten. demnach gilt für $\begin{eqnarray*} x = 0 = (x_1, x_2, x_3) = (0,0,0) \end{eqnarray*}$
das stimmt mit der Bedingung von gerade oben überein, demnach ist die Definitheit gegben

15.12.2013, 17:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
ich habe ja gegeben, dass die 1.Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} ||x||=0 , x=0 \end{eqnarray*}$
gelten muss

Was soll dieses Komma bedeuten bzw. was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

und wenn
$\begin{eqnarray*} ||x|| = 0 \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} ||x|| = (x_1^2 + x_2^2)^(0,5) = (0^2+0^2)^0,5 \end{eqnarray*}$ gelten.

Jetzt bist du ja wieder bei a).
Woher nimmst du da eigentlich die letzte Gleichheit?
[um die Exponenten kannst du übrigens geschweifte Klammern setzen]

Zitat:

demnach gilt für $\begin{eqnarray*} x = 0 = (x_1, x_2, x_3) = (0,0,0) \end{eqnarray*}$

Das ist kein sinnvoller Satz. Wofür gilt was? Und dann: Wieso?

15.12.2013, 17:39

mr.sat

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Gott, ich hab keine Ahnung, wieso nicht?

15.12.2013, 17:52

mr.sat

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kannst du mich einfach verbessern, als auf meine frage mit einer Gegenfrage die Sache zu kompliziert zu machen?

15.12.2013, 18:38

Che Netzer

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Du scheinst $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ in die Abbildung einzusetzen und erhältst dafür $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$ .
Die Frage bleibt offen, ob auch die Umkehrung gilt: Wenn irgendein Vektor $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt, muss dann $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gelten?

15.12.2013, 18:50

mr.sat

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nee ich mach das doch andersrum. ich setze ||x|| = 0 und dann erhalte ich x

15.12.2013, 18:52

Che Netzer

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Dann musst du das klarstellen, anstatt einfach zwei Gleichungen hinzuschreiben. Genau das meinte ich ja Augenzwinkern

Und wie ziehst du diese Schlussfolgerung, dass $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sei?

15.12.2013, 18:54

mr.sat

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das ist doch die gegebene Bedingung, von der ersten Normeigenschaft

15.12.2013, 18:57

Che Netzer

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Die erste Normeigenschaft besagt, dass $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$ genau dann der Fall sein soll, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Nullvektor ist.
Du nimmst dir also einen Vektor $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und nimmst an, dass $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$ . Dann versuchst du zu zeigen, dass dies nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sein kann. Oder aber du suchst ein Gegenbeispiel.

15.12.2013, 19:04

mr.sat

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dann ist das so, dass bei dieser Aufgabe ||x|| immer 0 ist, wenn gilt x(0,0,0)
und in a ist das auch der einzige Fall, weil das ja quadriert wird und deswegen immer alles positiv wird
in b ist die definität nicht gegeben, da z.B. für $\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_2 = -1 und x_3 = 1 \end{eqnarray*}$ auch null raus kommt?

15.12.2013, 19:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
dann ist das so, dass bei dieser Aufgabe ||x|| immer 0 ist, wenn gilt x(0,0,0)

Ja, hier ist dir allerdings ein Gleichheitszeichen verlorengegangen.

Zitat:

und in a ist das auch der einzige Fall, weil das ja quadriert wird und deswegen immer alles positiv wird

Nein.

Zitat:

in b ist die definität nicht gegeben, da z.B. für $\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_2 = -1 und x_3 = 1 \end{eqnarray*}$ auch null raus kommt?

Achte auf die Indizes!

15.12.2013, 19:34

mr.sat

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wieso? in a) kann ||x|| doch niemals null werden (außer ich hab $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 und x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ )

und was war an den indizes falsch?

15.12.2013, 19:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
wieso? in a) kann ||x|| doch niemals null werden (außer ich hab $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 und x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ )

Versuch das mal zu begründen.
Eigentlich hatten wir hier ja schon das Gegenargument gefunden...

Zitat:

und was war an den indizes falsch?

Was wäre denn in b) $\begin{eqnarray*} \lVert(0,1,-1)\rVert \end{eqnarray*}$ ?

15.12.2013, 20:16

mr.sat

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ach so, in b müsste z.B. sein
x_1 = -1 und x_2=1 und x_3 = 0
somit ist die Definitheit nicht gegeben

ja und jetzt erinnere ich mich wieder...
in a) kann x_3 alles mögliche sein und ich habe trotzdem für ||x||=0 wenn x_1 und x_2 null sind
d.h. hier habe ich auch die Definitheit nicht gegeben

15.12.2013, 20:33

Che Netzer

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Klingt besser.

15.12.2013, 20:40

mr.sat

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bei c und d kann es nicht sein, dass ||x|| = 0 wird (außer bei einem Nullvektor), weil da doch Betragsstriche sind, oder? dadurch wird doch alles positiv

15.12.2013, 21:04

Che Netzer

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Ja, die Behauptung stimmt, die Argumentation ist aber etwas schwammig.

15.12.2013, 21:47

mr.sat

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wieso? die Betragsstriche sorgen doch dafür, dass alles positiv wird, oder nicht?

15.12.2013, 21:49

mr.sat

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und bei einer Summe muss doch mindestens einmal eine negative zahl auftauchen, damit was 0 wird....

15.12.2013, 21:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
wieso? die Betragsstriche sorgen doch dafür, dass alles positiv wird, oder nicht?

Dann hättest du dasselbe zu b) schreiben können.

15.12.2013, 22:12

mr.sat

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aber bei b habe ich ja nicht x_1 und x_2 einzeln sondern zusammen in Betragsstriche, deswegen ist es ja auch möglich, am Ende null rauszubekommen
aber bei c und d kann ich ja machen, was ich will, da geht das ja nicht...

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