Wie beweise ich die Homogenität und die Dreiecksgleichung?

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mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beweise ich die Homogenität und die Dreiecksgleichung?
Meine Frage:
Ich muss bei den folgenden Abbildungen nach den Normeigenschaften überprüfen:

a)
b)
c)
d)


Meine Ideen:
Die Normeigenschaften sind
1) (Definitheit)
2) (Homogenität)
3) (Dreiecksgleichung

zu a)
1) Definitheit stimmt
2)& 3) wie überprüfe ich das? Könnt ihr mir Weiterhelfen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie beweise ich die Homogenität und die Dreiecksgleichung?
Zitat:
Original von mr.sat
a)

Was ist dabei bzw. was sind und ?
 
 
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

oh ich habe vergessen anzugeben, dass


Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du in a) tatsächlich eine Implikation aus 1) nachgewiesen, die andere übersehen.
Folgt aus auch ?
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe so gedacht, dass wenn

und das in a) einsetze, dann habe ich doch

oder nicht?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, schon.
Aber wieso hat nur zwei Komponenten?

Und das zeigt wie gesagt nur folgendes: Wenn , dann ist .
Aber gilt auch die Umkehrung?
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

ach stimmt, es gilt ja
d.h. die definitheit gilt nur, wenn , und das wiederum heißt, dass die 1.Normregel nicht immer gilt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr.sat
ach stimmt, es gilt ja

Ein Vektorraum "gilt" nicht.

Zitat:
d.h. die definitheit gilt nur, wenn , und das wiederum heißt, dass die 1.Normregel nicht immer gilt?

Was verstehst du denn unter "Definitheit"?
Die sollte bedeuten, dass für alle die Äquivalenz von und gilt. D.h. der Begriff enthält schon ein "für alle" und es hat keinen Sinn zu sagen, dass die Definitheit nur "gilt", wenn ist.
mr.son Auf diesen Beitrag antworten »

also sage ich einfach: in a) ist die 1.Normregel nicht erfüllt, da s.o.?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn "Normregel" bei euch ein Begriff ist ja; dann solltest du das ganze nur etwas schöner ausformulieren und insbesondere sagen, wieso die genannte Abbildung nicht definit ist.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

aber die Begründung war jetzt richtig, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Begründung?
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

dass

demnach folgt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass

Das soll deine Begründung sein? Vielmehr die Annahme, die du darin treffen solltest.
Zitat:
demnach folgt

Wieso? Gib ein Gegenbeispiel an.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

Bsp: x_3 = 1
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein Beispiel für einen Vektor.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte auch (0,0,3)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib das auch Augenzwinkern
Ja, das widerlegt die Definitheit, womit die Abbildung aus a) keine Norm ist.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

gut.
kannst Du mir vielleicht dann erklären, wie ich die Homogenität & Dreiecksgleichung be-/widerlege?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Von welcher Abbildung? Der aus a)? Sollt ihr jeweils alle drei Eigenschaften testen oder nur herausfinden, ob es eine Norm ist?
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

also die Aufgabenstellung fragt, ob die folgenden Abbildungen den Normeigenschaften genügen. deswegen habe ich gedacht, dass ich alle Eigenschaften nachprüfen muss.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Den Normeigenschaften zu genügen hieße, allen zu genügen. Wenn die Abbildung also eine nicht hat, kann sie nicht mehr allen genügen.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

ach so,
aber kannst du mir das trotzdem erklären, bitte? ich würde das gerne trotzdem wissen, wie das geht
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet ihr denn nie ein Beispiel für eine Norm durchgesprochen?
Ansonsten wird dir das in dieser Aufgabe noch unterkommen. Probiere weiter.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

nee also bei uns in der Vorlesung wird nur die allgemeine Formel angegeben, die Definition, Eigenschaften, regeln, etc aber keine Beispiele und dann aber solche Aufgaben.
deswegen wäre es echt Hilfreich, wenn du mir bei der a zeige könntest, wie das mir den beiden anderen Normeigenschaften, damit ich die anderen Aufgaben auch selbst machen kann.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr.sat
nee also bei uns in der Vorlesung wird nur die allgemeine Formel angegeben

Welche allgemeine Formel?

Zitat:
deswegen wäre es echt Hilfreich, wenn du mir bei der a zeige könntest, wie das mir den beiden anderen Normeigenschaften, damit ich die anderen Aufgaben auch selbst machen kann.

Die (absolute) Homogenität kann ich dir nachweisen:
Ist und ist ein Skalar, so ist
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

also mit der allgem. Formel meinte ich sowas wie
|x+y|^2 = <x+y, x+y>
|x| = <x,x>^0.5


danke, das mit der zweiten Nominaleigenschaft habe ich sogar verstanden.
Aber wie mache ich das bei der dritten Eigenschaft? vermutlich setze ich für v x ein, aber was mache ich mit w?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr.sat
also mit der allgem. Formel meinte ich sowas wie
|x+y|^2 = <x+y, x+y>
|x| = <x,x>^0.5

Das ist keineswegs eine allgemeine Formel.


Zitat:
Aber wie mache ich das bei der dritten Eigenschaft? vermutlich setze ich für v x ein, aber was mache ich mit w?

Schreib die Definition am besten mal genau auf, nicht nur die Formeln daraus.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt...?

also soweit ich weiß, ist die dritte Eigenschaft:
||v+w|| <= ||v||+||w||

und halt eben die Abbildung
||x|| = (x_1^2+ x_2^2)^0,5

ich nehme jetzt an, dass ich in v einfach x einsetzen kann, aber ich weiß nicht, wie ich dann weiter machen soll
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr.sat
also soweit ich weiß, ist die dritte Eigenschaft:
||v+w|| <= ||v||+||w||

Das ist nur eine Ungleichung und die verwendeten Variablen sind nicht erklärt.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

...????
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann leider nichts damit anfangen.... deswegen habe ich ja auch meine Frage hier gestellt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst auch gar nicht nachzudenken. Schreib einfach die vollständige Definition im Wortlaut ab – nicht nur die eine Ungleichung.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

was für eine Definition? ich kenn nur die Ungleichung....
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition einer Norm. Wie habt ihr die aufgeschrieben?
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

da haben wir nur aufgeschrieben:

Es sei (V, <>) ein euklidischer Vektorraum. Dann heißt für x V


und dann kommen die Eigenschaften.
aber wie soll mir das bei den Eigenschaften weiterhelfen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr.sat
und dann kommen die Eigenschaften.

Schreib das genauer auf. Was steht dort?
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

die Eigenschaften habe ich doch schon ganz am Anfang aufgeschrieben. Da stehe vorne nur noch "Eigenschaften der euklidischen Norm: Es seien (V,<>) ein euklidischer Vektorraum, und . Dann gelten:
1. Definitheit
2. Homogenität
3. Dreiecksgleichung

Ich bin ja auch die ganze Zeit durch meine Unterlagen durchgegangen, ob ich nicht was übersehen habe oder ob da was nützliches steht, damit ich die aufgaben endlich lösen kann, denn ich brauche sie ja bis morgen!! (ich bin grad leicht verzweifelt...)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr.sat

Tadaa...
In der Dreiecksungleichung geht es also um zwei beliebige Vektoren. Versuch die mal in b) oder d) zu zeigen.
mr.sat Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich habe in b und in d doch nur einen beliebigen Vektor. über den zweiten weiß ich ja nix
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