Wie beweise ich die Homogenität und die Dreiecksgleichung?

14.12.2013, 14:23

mr.sat

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Wie beweise ich die Homogenität und die Dreiecksgleichung?

Meine Frage:
Ich muss bei den folgenden Abbildungen nach den Normeigenschaften überprüfen:

a) $\begin{eqnarray*} ||x|| = (x_1^2 + x_2^2)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} ||x|| = |x_1 + x_2|+|x_3| \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} ||x|| = (|x_1| + |x_2|^2 +|x_3|^3)^{\frac{1}{6} } \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} ||x|| = |x_1| + 2|x_2| + 3|x_3| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Normeigenschaften sind
1) $\begin{eqnarray*} ||v|| = 0 <=> v=0 \end{eqnarray*}$ (Definitheit)
2) $\begin{eqnarray*} ||\lambda*v|| = |\lambda|*||v|| \end{eqnarray*}$ (Homogenität)
3) $\begin{eqnarray*} ||v+w|| \leq ||v||+||w|| \end{eqnarray*}$ (Dreiecksgleichung

zu a)
1) $\begin{eqnarray*} ||x|| = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow (0^2+0^2)^{\frac{1}{2} } = 0 \end{eqnarray*}$ Definitheit stimmt
2)& 3) wie überprüfe ich das? Könnt ihr mir Weiterhelfen?

14.12.2013, 14:33

Che Netzer

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RE: Wie beweise ich die Homogenität und die Dreiecksgleichung?

Zitat:

Original von mr.sat
a) $\begin{eqnarray*} ||x|| = (x_1^2 + x_2^2)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Was ist dabei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. was sind $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2013, 15:10

mr.sat

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oh ich habe vergessen anzugeben, dass

$\begin{eqnarray*} || ... ||:\mathbb R^{3} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x -> ||x|| \end{eqnarray*}$

14.12.2013, 15:44

Che Netzer

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Dann hast du in a) tatsächlich eine Implikation aus 1) nachgewiesen, die andere übersehen.
Folgt aus $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2013, 15:59

mr.sat

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also ich habe so gedacht, dass wenn
$\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2) = 0 = (0,0) \end{eqnarray*}$
und das in a) einsetze, dann habe ich doch
$\begin{eqnarray*} ||x|| = (x_1^2 + x_2^2)^{\frac{1}{2} } = (0^2+0^2)^{\frac{1}{2} }= 0 \end{eqnarray*}$
oder nicht?

14.12.2013, 16:04

Che Netzer

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Ja, schon.
Aber wieso hat $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur zwei Komponenten?

Und das zeigt wie gesagt nur folgendes: Wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$ .
Aber gilt auch die Umkehrung?

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14.12.2013, 16:07

mr.sat

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ach stimmt, es gilt ja $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$
d.h. die definitheit gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ , und das wiederum heißt, dass die 1.Normregel nicht immer gilt?

14.12.2013, 16:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
ach stimmt, es gilt ja $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

Ein Vektorraum "gilt" nicht.

Zitat:

d.h. die definitheit gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ , und das wiederum heißt, dass die 1.Normregel nicht immer gilt?

Was verstehst du denn unter "Definitheit"?
Die sollte bedeuten, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Äquivalenz von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert=0 \end{eqnarray*}$ gilt. D.h. der Begriff enthält schon ein "für alle" und es hat keinen Sinn zu sagen, dass die Definitheit nur "gilt", wenn $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ ist.

14.12.2013, 16:15

mr.son

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also sage ich einfach: in a) ist die 1.Normregel nicht erfüllt, da s.o.?

14.12.2013, 16:22

Che Netzer

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Wenn "Normregel" bei euch ein Begriff ist ja; dann solltest du das ganze nur etwas schöner ausformulieren und insbesondere sagen, wieso die genannte Abbildung nicht definit ist.

14.12.2013, 16:24

mr.sat

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aber die Begründung war jetzt richtig, oder?

14.12.2013, 16:25

Che Netzer

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Welche Begründung?

14.12.2013, 16:31

mr.sat

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dass
$\begin{eqnarray*} ||x|| = (x_1^2 + x_2^2)^{\frac{1}{2} } = (0^2+0^2)^{\frac{1}{2} }= 0 \end{eqnarray*}$
demnach folgt
$\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2, x_3) = (0,0, x_3)\neq 0 \end{eqnarray*}$

14.12.2013, 16:36

Che Netzer

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Zitat:

dass
$\begin{eqnarray*} ||x|| = (x_1^2 + x_2^2)^{\frac{1}{2} } = (0^2+0^2)^{\frac{1}{2} }= 0 \end{eqnarray*}$

Das soll deine Begründung sein? Vielmehr die Annahme, die du darin treffen solltest.

Zitat:

demnach folgt
$\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2, x_3) = (0,0, x_3)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Wieso? Gib ein Gegenbeispiel an.

14.12.2013, 16:38

mr.sat

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Bsp: x_3 = 1

14.12.2013, 16:40

Che Netzer

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Das ist kein Beispiel für einen Vektor.

14.12.2013, 17:51

mr.sat

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ich meinte auch (0,0,3)

14.12.2013, 17:57

Che Netzer

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Dann schreib das auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, das widerlegt die Definitheit, womit die Abbildung aus a) keine Norm ist.

14.12.2013, 18:08

mr.sat

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gut.
kannst Du mir vielleicht dann erklären, wie ich die Homogenität & Dreiecksgleichung be-/widerlege?

14.12.2013, 18:27

Che Netzer

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Von welcher Abbildung? Der aus a)? Sollt ihr jeweils alle drei Eigenschaften testen oder nur herausfinden, ob es eine Norm ist?

14.12.2013, 18:29

mr.sat

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also die Aufgabenstellung fragt, ob die folgenden Abbildungen den Normeigenschaften genügen. deswegen habe ich gedacht, dass ich alle Eigenschaften nachprüfen muss.

14.12.2013, 18:32

Che Netzer

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Den Normeigenschaften zu genügen hieße, allen zu genügen. Wenn die Abbildung also eine nicht hat, kann sie nicht mehr allen genügen.

14.12.2013, 18:33

mr.sat

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ach so,
aber kannst du mir das trotzdem erklären, bitte? ich würde das gerne trotzdem wissen, wie das geht

14.12.2013, 18:42

Che Netzer

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Hattet ihr denn nie ein Beispiel für eine Norm durchgesprochen?
Ansonsten wird dir das in dieser Aufgabe noch unterkommen. Probiere weiter.

14.12.2013, 18:45

mr.sat

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nee also bei uns in der Vorlesung wird nur die allgemeine Formel angegeben, die Definition, Eigenschaften, regeln, etc aber keine Beispiele und dann aber solche Aufgaben.
deswegen wäre es echt Hilfreich, wenn du mir bei der a zeige könntest, wie das mir den beiden anderen Normeigenschaften, damit ich die anderen Aufgaben auch selbst machen kann.

14.12.2013, 18:53

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
nee also bei uns in der Vorlesung wird nur die allgemeine Formel angegeben

Welche allgemeine Formel?

Zitat:

deswegen wäre es echt Hilfreich, wenn du mir bei der a zeige könntest, wie das mir den beiden anderen Normeigenschaften, damit ich die anderen Aufgaben auch selbst machen kann.

Die (absolute) Homogenität kann ich dir nachweisen:
Ist $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Skalar, so ist
$\begin{eqnarray*} \lVert\lambda x\rVert=\left((\lambda x_1)^2+(\lambda x_2)^2\right)^{\frac12}=\left(\lambda^2x_1^2+\lambda^2x_2^2\right)^{\frac12}=\left(\lambda^2\right)^{\frac12}\left(x_1^2+x_2^2\right)^{\frac12}=\lvert\lambda\rvert\lVert x\rVert\,. \end{eqnarray*}$

14.12.2013, 23:18

mr.sat

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also mit der allgem. Formel meinte ich sowas wie
|x+y|^2 = <x+y, x+y>
|x| = <x,x>^0.5

danke, das mit der zweiten Nominaleigenschaft habe ich sogar verstanden.
Aber wie mache ich das bei der dritten Eigenschaft? vermutlich setze ich für v x ein, aber was mache ich mit w?

14.12.2013, 23:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
also mit der allgem. Formel meinte ich sowas wie
|x+y|^2 = <x+y, x+y>
|x| = <x,x>^0.5

Das ist keineswegs eine allgemeine Formel.

Zitat:

Aber wie mache ich das bei der dritten Eigenschaft? vermutlich setze ich für v x ein, aber was mache ich mit w?

Schreib die Definition am besten mal genau auf, nicht nur die Formeln daraus.

14.12.2013, 23:34

mr.sat

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das heißt...?

also soweit ich weiß, ist die dritte Eigenschaft:
||v+w|| <= ||v||+||w||

und halt eben die Abbildung
||x|| = (x_1^2+ x_2^2)^0,5

ich nehme jetzt an, dass ich in v einfach x einsetzen kann, aber ich weiß nicht, wie ich dann weiter machen soll

14.12.2013, 23:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
also soweit ich weiß, ist die dritte Eigenschaft:
||v+w|| <= ||v||+||w||

Das ist nur eine Ungleichung und die verwendeten Variablen sind nicht erklärt.

14.12.2013, 23:46

mr.sat

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...????

15.12.2013, 01:05

mr.sat

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ich kann leider nichts damit anfangen.... deswegen habe ich ja auch meine Frage hier gestellt

15.12.2013, 10:03

Che Netzer

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Du brauchst auch gar nicht nachzudenken. Schreib einfach die vollständige Definition im Wortlaut ab – nicht nur die eine Ungleichung.

15.12.2013, 11:07

mr.sat

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was für eine Definition? ich kenn nur die Ungleichung....

15.12.2013, 11:09

Che Netzer

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Die Definition einer Norm. Wie habt ihr die aufgeschrieben?

15.12.2013, 13:27

mr.sat

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da haben wir nur aufgeschrieben:

Es sei (V, <>) ein euklidischer Vektorraum. Dann heißt für x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V
$\begin{eqnarray*} |x| := <x,x>^{\frac{1}{1} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (\sum\limits_{k=1}^n x_k )^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
und dann kommen die Eigenschaften.
aber wie soll mir das bei den Eigenschaften weiterhelfen?

15.12.2013, 13:34

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
und dann kommen die Eigenschaften.

Schreib das genauer auf. Was steht dort?

15.12.2013, 13:40

mr.sat

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die Eigenschaften habe ich doch schon ganz am Anfang aufgeschrieben. Da stehe vorne nur noch "Eigenschaften der euklidischen Norm: Es seien (V,<>) ein euklidischer Vektorraum, $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x, y, \in V \end{eqnarray*}$ . Dann gelten:
1. Definitheit
2. Homogenität
3. Dreiecksgleichung

Ich bin ja auch die ganze Zeit durch meine Unterlagen durchgegangen, ob ich nicht was übersehen habe oder ob da was nützliches steht, damit ich die aufgaben endlich lösen kann, denn ich brauche sie ja bis morgen!! (ich bin grad leicht verzweifelt...)

15.12.2013, 13:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von mr.sat
$\begin{eqnarray*} x, y, \in V \end{eqnarray*}$

Tadaa...
In der Dreiecksungleichung geht es also um zwei beliebige Vektoren. Versuch die mal in b) oder d) zu zeigen.

15.12.2013, 13:59

mr.sat

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aber ich habe in b und in d doch nur einen beliebigen Vektor. über den zweiten weiß ich ja nix

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