Erzeugte Sigma-Algebra

14.12.2013, 16:09	Gigatronic	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugte Sigma-Algebra Meine Frage: Hey, ich habe eine Folge $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ von reellwertigen, unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathfrak{A},P) \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} \sigma(X_1,...,X_n) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Meines Wissens ist das $\begin{eqnarray} \sigma(X_1,...,X_n)=\sigma(\bigcup_{i=1}^{n}X_i^{-1}(B): B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})) \end{eqnarray}$ . Meine Frage ist, ob hier gilt, dass $\begin{eqnarray} \sigma(\bigcup_{i=1}^{n}X_i^{-1}(B): B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}))=\left\{X_i^{-1}(B): B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}), 1\leq i\leq n\right\} \end{eqnarray}$ .
17.12.2013, 10:44	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Grüß Dich, nein, das stimmt so nicht. Es muss heißen: $\begin{eqnarray} \sigma(X_{1},...,X_{n})= \sigma(\bigcup_{i=1}^{n} X_{i}^{-1}(B): B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})) = \sigma(\{ X_{i}^{-1}(B): B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}, 1 \leq i \leq n \}) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \{ X_{i}^{-1}(B): B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), 1 \leq i \leq n \} \end{eqnarray}$ allein ist ja keine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra!
17.12.2013, 12:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Gigatronic Das ist eine Unzulässige Einengung: Die Menge $\begin{eqnarray} \sigma\left( \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}^{-1}(B):\; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right) \end{eqnarray}$ ist i.a. nur eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray} \sigma(X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray}$ - Beispiel: Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} \Omega=\{0,1\}^n,\,\mathcal{A}=\wp(\Omega)\,P(\{\omega\}) = \frac{1}{\|\Omega\|} = \frac{1}{2^n} \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} \omega = (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in \Omega \end{eqnarray}$ sowie Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_i(\omega) := \omega_i \end{eqnarray}$ . Dann ist offenbar $\begin{eqnarray} \sigma(X_1,\ldots,X_n) = \mathcal{A} \end{eqnarray}$ , es ist jedoch $\begin{eqnarray} \sigma\left( \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}^{-1}(B): B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right) = \sigma\left( \{(0,0,\ldots,0\}, \{(1,1,\ldots,1\} \right) \end{eqnarray}$ was im Fall $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ nicht gleich $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ ist. Wenn schon, dann müsste es $\begin{eqnarray} \sigma(X_1,\ldots,X_n) = \sigma\left( \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}^{-1}(B_i):\; B_1,\ldots,B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right) \end{eqnarray}$ lauten, so stimmt es.

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