Regula falsi

14.12.2013, 20:02

Kimyaci

Regula falsi

Habe jetzt einiges zum "Regula falsi" Verfahren zur nährungsweisen Nullstellenberechnung aus diversen Quellen (Bücher, Wikipedia) durchgelesen, aber ich versteh das einfach nicht..

Man wählt zwei Punkte und dazwischen ist dann die Nullstelle... aber wie nähert man sich dieser an? Und woher weiß man welche Punkte man wählt?

Hab hier ein Beispiel zur Nullstellenberechnung der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = x - \cos (x) \end{eqnarray*}$

Anhand der Skizze (muss man die jedes Mal zeichnen?) erkennt man, dass die Nullstelle im Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$ liegt.

Wegen

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 - 1 = - 1 < 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \cos (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} > 0 \end{eqnarray*}$

darf man

$\begin{eqnarray*} x_l = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_r = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

als Startwerte benutzen.

Jetzt wird mehrfach in die Formel:

$\begin{eqnarray*} x_0 = \frac{f(x_r) x_l - f(x_l) x_r}{f(x_r) - f(x_l)} \end{eqnarray*}$

eingesetzt bis man den Wert $\begin{eqnarray*} x_0 = 0,736 \end{eqnarray*}$ erhält als gesuchte Nullstelle. Die Berechnung ist ja einigermaßen verständlich, aber das Prinzip ist mir völlig unklar...

14.12.2013, 23:18

mYthos

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Die Regula falsi ("Regel des Falschen") ist ähnlich dem Sekantenverfahren. Als Startwerte nimmt man hier immer zwei Punkte, zwischen denen die Nullstelle liegt und deren Funktionswerte sich durch das Vorzeichen unterscheiden, d.h. es ist auf den VZW (Vorzeichenwechsel) zu achten. Die Nullstelle liegt bei allen weiteren Iterationen immer im Intervall zwischen diesen beiden Stellen.
Die Iterationsvorschrift ist recht einfach: Man berechnet den Schnittpunkt der Sehne mit der x-Achse, dieser ist gleich der nächste Startwert und als zweiter Wert fungiert jene Abszisse, deren Funktionswert das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Die Schnittpunkte der Sehnen auf der x-Achse rücken somit immer näher an die Nullstelle heran.

Früher war dieses Verfahren ziemlich rechenintensiv, als es noch keine elektronischen Hilfen gab. Heute ist die Rechenarbeit kein Thema mehr, somit spielt es keine Rolle, wenn bei diesem Verfahren mehr Iterationsschritte erforderlich sind als z.B beim Newtonverfahren.

Eine weitgehend überschaubare und manuelle Berechnung kann in Excel durchgeführt werden. Die Berechnung funktioniert lediglich mit den entsprechenden Formeln und Wenn-Abfragen, es ist kein Makro eingesetzt und es werden auch keine Zielwertsuche oder Solver angewandt.
Bereits mit der Wertetabelle allein bzw. dem xy-Diagramm kannst du eingrenzen, in welchem Intervall mit VZW die Nullstelle liegen muss.
Diese Methode wurde im Board schon öfters gezeigt, z.B. hier:

--> Wenn-Funktion in Excel für Regula Falsi

mY+

15.12.2013, 00:00

Kimyaci

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Zitat:

Die Regula falsi ("Regel des Falschen") ist ähnlich dem Sekantenverfahren.

Das hätte ich mir vielleicht früher anschauen sollen;

http://de.wikipedia.org/wiki/Sekantenverfahren

das Schaubild dort ist gut gemacht.

Meinst du mit Abszisse die x-Achse? Wenn ja hab ichs glaube ich verstanden, danke für die ausführliche Erklärung!! Freude

Auch danke für den Tipp mit Excel, wobei ich das rein aus Interesse lerne. Brauche das Verfahren jetzt nicht für naturwissenschaftliche Zwecke o.Ä.

15.12.2013, 00:05

mYthos

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Das Sekantenverfahren unterscheidet sich etwas von der Regula Falsi (Bisektionsverfahren), denn dabei kann die Nullstelle auch außerhalb des Intervalls hineinfallen.
Abszisse heisst einfach x-Wert. Die x-Achse ist die Abszissenachse.

mY+

15.12.2013, 00:12

Kimyaci

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Alles klar, danke. Freude

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