Zeige dass f konstant ist

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Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige dass f konstant ist
Meine Frage:
Hallo Leute, folgende Aufgabe:

Sei eine reelle Funktion s.d.

Zeigen Sie, dass konstant ist.

Meine Ideen:
nicht viel, ehrlich gesagt.
Ev. ist mit dem Satz von Rolle da was zu machen, war mein erster Gedanke.
Ich dachte auch an Lipschitz stetigkeit, doch fehlt die Konstante und das Quadrat gehoert dann auch nicht dahin.
Ich hab mir auch gedacht, dass ich durch teilen, da das ja grösser null ist. dann hätte ich links den Differenzenquotienten stehen. Viel weiter bin ich aber nicht gekommen.
bitte helft mir Leute
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige dass f konstant ist
Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
Ich hab mir auch gedacht, dass ich durch teilen, da das ja grösser null ist. dann hätte ich links den Differenzenquotienten stehen. Viel weiter bin ich aber nicht gekommen.

Das ist (glaube ich) der richtige Ansatz. Wobei du etwas genauer sein musst: Du darfst natürlich nur durch teilen, wenn ist. Außerdem steht dann auf der linken Seite nicht der Differenzernquotient, sondern sein Betrag.
Nun lasse mal ein fest, aber beliebig sein und betrachte

Welche Abschätzung gilt dafür? Was folgt daraus für
??
Was folgt daraus für die Funktion an der Stelle ?
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche Abschätzung gilt dafür?


ich weiss jetzt nicht genau worauf du damit hinaus willst, bzw. wozu hier eine Abschätzung nützlich sein soll. verwirrt
Laeuft es nicht genau darauf hinaus, dass wenn lfür alle y gleich null ist, die funktion konstant ist?
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Genau darauf läuft es hinaus. Auf dem Weg beweist du gleich mal, dass überhaupt differenzierbar ist, was nicht ganz trivial ist, deswegen solltest du in der richtigen Reihenfolge argumentieren.

P.S. (edit): die Abschätzung, von der ich sprach, gibt sich einfach aus der gegeben Ungleichung beim Teilen durch .
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt, dass
denn sonst wuerde ja obige Ungleichung nicht gelten.
Was mir aber noch immer nicht in den Kopf will, ist, ja sowieso null ist, egal wie ich wähle, denn sonst ist die Funktion ja nicht konstant.
der limes müsste gleich null sein.
aber dann kann es ja nicht sein, dass gleich null ist. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich nicht unnötig aufhalten mit irgendwelchen Grenzwerten von Differenzenquotienten, sondern schlicht mit der Dreiecksungleichung argumentieren:

Seien sowie . Dann definieren wir noch für und können abschätzen



und das für alle (!) . Was folgt daraus für ?
 
 
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
der limes müsste gleich null sein.(

Genau! Warum?

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
aber dann kann es ja nicht sein, dass gleich null ist. verwirrt

Warum nicht?? Wenn gleich 0 ist für alle y, dann ist der obige Limes doch einfach nur der Limes einer Folge, die konstant 0 ist... wo liegt das Problem?


@HAL: Na gut, so gehts auch Augenzwinkern aber an sich ist die Lösung mit der Ableitung nicht sonderlich länger (ich werde sie jetzt nicht hier hinschreiben und die Komplettlösung präsentieren)
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was folgt daraus für ?


der müsste Gleich null sein.

Zitat:
Genau! Warum?


na weil immer, egal wie ich y waehle gleich null ist.
und zwar nicht Gleich null ist, aber null durch eine beliebige Zahl ist eben null.
Ist diese Begründung mathematisch ausreichend? verwirrt
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
na weil immer, egal wie ich y waehle gleich null ist.(

Jetzt setzt du ja voraus, dass f konstant ist, das soll man doch erst beweisen und darf nicht einfacfh davon ausgehen.
Nochmal: Wir wissen, dass für und gilt:

Was passiert mit der rechten Seite, wenn gegen geht? Und was bedeutet das für die linke Seite, wenn gegen geht?

---

Es ist natürlich generell nicht so hilfreich, zweigleisig zu fahren, aber hast du denn HALs Beweis verstanden? Er setzt anders an und braucht keine Differenzialrechnung, ist also gewissermaßen elementarer.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es ist natürlich generell nicht so hilfreich, zweigleisig zu fahren, aber hast du denn HALs Beweis verstanden? Er setzt anders an und braucht keine Differenzialrechnung, ist also gewissermaßen elementarer.


Ich denke schon, jetzt wenn ich ihn so präsentiert bekomme. Selber aber wäre ich, ehrlich, nicht darauf gekommen.

Zitat:
etzt setzt du ja voraus, dass f konstant ist, das soll man doch erst beweisen und darf nicht einfacfh davon ausgehen.

Mein Fehler; natürlich LOL Hammer

Zitat:
Was passiert mit der rechten Seite, wenn gegen geht?


Na die rechte seite wird immer kleiner. Geht also gegen null.

Zitat:
Und was bedeutet das für die linke Seite, wenn gegen geht?


Naja für den Nenner gilt dasselbe. Er wird immer kleiner. Geht also gegen null.
Der für den Zähler gilt dasselbe, nur dass dieser natürlich noch schneller gegen null gehen muss, weil er gemäss Voraussetzung immer kleiner ist als der Nenner.

Wir haben also zwei Folgen, die beide gegen null gehen, aber diese im Zähler geht schneller gegen null als die im Nenner. Daher geht auch dessen Quotient gegen null.
Hab ichs jetzt?? verwirrt
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. An sich ist es richtig, was du sagst, du musst nur genau aufpassen, wie du argumentierst:
Wenn gegen strebt, so geht die linke Seite von

ganz einfach deshalb gegen 0, weil die rechte Seite gegen 0 geht und außerdem Beträge immer größer gleich null sind. Man verwendet hier das Sandwich-Lemma (oder wie man es gerne nennen möchte).

Wir wissen also, dass

und können (da der Grenzwert null ist) die Betragsstriche weglassen und direkt folgern, dass
.
ist also differenzierbar an mit Ableitung
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank auch dastrian! smile
und natürlich auch an HAL 9000 smile
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