Vektorrechnung Dreieck

15.12.2013, 15:05

Duinne

Vektorrechnung Dreieck

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe eine Aufgabe zur Vektorrechnung, bei der ich nicht weiter komme:

Gegeben sind die drei Punkte A (1|0|2), B (3|8|0),C (0|7|5).

c) wir betrachten im Dreieck ABC die Höhe auf der Seite AB. Geben Sie die Endpunkte und die Länge dieser Höhe an.

d) Geben Sie die Ebene, die das Dreieck ABC enthält, in parametrischer und in parameterfreier Form an.
e) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die die Mittelsenkrechte der Seite AB enthält. (Nutzen Sie b.).

Meine Ideen:
c) Für die Höhe habe ich folgende Formel gefunden:

$\begin{eqnarray*} h= | \vec{a}\times \vec{b} | \end{eqnarray*}$

Ist die richtig?

d) parametrische Darstellung

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{OA}+r\cdot \vec{u}+s\cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

Parameterfrei kann Koordinaten- oder Normalform sein.
Aber wie komme ich überhaupt zu einer Gleichung?

e)Hier habe ich gar keine Ideen mehr...

Kann mir hierbei jemand helfen?

Vielen Dank und Grüße
Duinne

16.12.2013, 01:36

mYthos

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Den Aufgabenteil b) hast du NICHT angegeben (brauchtst du für e))

c)
Die Formel ist einfach nur so hingeworfen und ist so nicht zutreffend.
Was sagt a x b eigentlich aus? Welche Vektoren müssen für a, b eingesetzt werden, damit die Formel letzendlich "stimmt"?

d)
Für die Parameterform der Ebene musst du also die Richtungsvektoren u, v berechnen.
Zur Koordinatenform (in x, y, z) gelangst du durch zeilenweises Anschreiben der Parametergleichung und anschließender Elimination der Parameter r, s aus den erhaltenen 3 Gleichungen.
Alternativ kann auch der Normalvektor aus den beiden Richtungsvektoren berechnet werden, dieser führt ebenfalls zur Koordinatenform der Ebenengleichung.

mY+

16.12.2013, 14:59

Duinne

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Vektorrechnung Dreieck
Vielen Dank für deine Antwort!

b) Bestimmen Sie die senkrechte Projektion des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ auf den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und berechnen Sie den zugehörigen Lotvektor als Vektordifferenz.

Hier habe ich Folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} | \vec{AB} |^{2}=2^{2}+8^{2}-2^{2}=72\Rightarrow | \vec{AB} |=8,49 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} _{\vec{AB} }=\left(\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC} }{| \vec{AB} | ^{2} } \right)=\frac{48}{8,49} \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 11,3 \\ 45,2 \\ -11,3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für den Lotvektor habe ich gerechntet:

$\begin{eqnarray*} \vec{AC}- \vec{AC} _{\vec{AB} }=\begin{pmatrix} -12,3 \\ -38,2 \\ 14,3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu c) $\begin{eqnarray*} h= | \vec{a}\times \vec{b} | \end{eqnarray*}$
Das dürfte wohl nicht richtig sein, da das eine Fläche ergibt. Die Höhe ergibt sich aus dem Betrag eines Vektors und einem Cosinus.

$\begin{eqnarray*} h=| \vec{a} |\cdot \cos(\alpha ) \end{eqnarray*}$

Den Winkel dazu habe ich allerdings nicht.

d) Für die Parameterform der Ebene habe ich nun Folgendes:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um die Gleichung in eine Koordinatengleichung umzuwandeln, muss man ein Gleichungssystem aufstellen und die Determinante berechnen. Für die Determinante habe ich 82 raus. Aber wie löse ich ein Gleichungssystem, in dem in jeder Zeile eine Variable fehlt...? Ich bin verwirrt.

Gruß
Duinne

16.12.2013, 15:20

Duinne

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RE: Vektorrechnung Dreieck
zu c) Habe mir Folgendes überlegt. Den Winkel zwischen AB und AC kann ich berechnen. Der Winkel zwischen h und AB muss 90° sein. Damit kann ich den letzten Winkel im Dreieck berechnen und schließlich die Höhe.

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha )=\frac{48}{\sqrt{72}\cdot \sqrt{59} } =0,736 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha =\arccos(0,736)=42,57° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\gamma )=\sqrt{1-cos^{2}42,57°-cos^{2}90° } =0,68 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma =\arccos(0,68)=47,17° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h=| \vec{AC} | \cdot \sin(47,17)=\sqrt{59} \cdot \cos(47,17)=5,22 \end{eqnarray*}$

Wäre das korrekt? Falls ja, wie kann ich nun die Endpunkte bestimmen. Ich denke, ein Endpunkt muss der Punkt C sein.

Danke und Gruß
Duinne

16.12.2013, 23:51

mYthos

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Bei b) muss dir ein Fehler unterlaufen sein.
Die Projektion von AC auf AB kann auf Grund der Lage der drei Punkte unmöglich fast 6 mal so lange sein wie AB.
Bei mir der Betrag der Projektion rd. 3,265

c)
Für h verwendest du am einfachsten die Formel für den Abstand des Punktes C von der Geraden AB, wobei c = AB, b = AC:
$\begin{eqnarray*} h = \frac {|\vec c \times \vec b|} {|\vec c|} = |\vec {c_0} \times \vec b| \end{eqnarray*}$
Dabei kommt als Resultat $\begin{eqnarray*} h = 3 \sqrt 3 = \ \text{rd.} \ 5,2 \end{eqnarray*}$ heraus, welches sich in etwa mit deinem zu ungenau berechneten h deckt.
Dein Rechenweg ist allerdings undurchsichtig, was die Berechnung des zweiten Winkels betrifft, und möglicherweise sogar falsch. Ist der zweite Winkel nicht einfach $\begin{eqnarray*} 90^{\circ} - \alpha^{\circ} \end{eqnarray*}$ ?

Nun zu den Endpunkten der Höhe, einer ist C und jenen auf der Seite c nennen wir D.
Dann ist der Vektor AD das 3,265-fache des Einheitsvektors von AB (d.h. von $\begin{eqnarray*} \vec{c_0} \end{eqnarray*}$ (3,265 ist ja die Länge der Projektion von AC auf die Seite AB).

$\begin{eqnarray*} \vec{AD} = \frac{3,265}{8,485} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} = \ldots \end{eqnarray*}$

Wenn du nun diesen Vektor zu dem Ortsvektor von A addierst, erhältst du den Punkt D.

d)
Die Ebenengleichung zeilenweise:

x = 1 + 2r - s
y = 8r + 7s
z = 2 - 2r + 3s
--------------------
So, daraus nun r, s eliminieren, bis eine Gleichung in x, y, z übrigbleibt. Gelingt das?
[19x - 2y + 11z = 41]

mY+

22.12.2013, 13:07

Duinne

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RE: Vektorrechnung Dreieck
Vielen Dank für deine Antowort!

b) hier habe ich einen Rechenfehler beimir gefunden. Allerdings komme ich dann immer noch nicht auf dein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} _{\vec{AB} }=\left(\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC} }{| \vec{AB} | ^{2} } \right)=\frac{48}{72} \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\frac{1}{3} \\ 5\frac{1}{3} \\ -1\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \vec{AC} _{\vec{AB} } |=5,39 \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, was du gerechnet hast. Ich sehe meinen Fehler jedenfalls nicht.

Gruß
Duinne

26.12.2013, 15:26

mYthos

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RE: Vektorrechnung Dreieck
Da ist immer noch ein Rechenfehler, im Nenner hast du die Wurzel vergessen:

Zitat:

Original von Duinne
...
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} _{\vec{AB} }=\left(\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC} }{| \vec{AB} | ^{2} } \right)=\frac{48}{\color{red}\sqrt{72}\color{black}} \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \vec{AC} _{\vec{AB} } |= 4 \sqrt 2 \approx \color{red}5,66 \end{eqnarray*}$

Anfangs hatte ich auch ein anderes Ergebnis, sorry, ich dürfte mich auch verrechnet haben ...
Wie sieht's mit den anderen Aufgabenpunkten aus?

mY+

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