Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist. |
15.12.2013, 16:39 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist. [attach]32390[/attach] Ich beschäftige mich gerade mit der Aufgabe und hab null Plan wie ich das zeigen soll... Zu zeigen ist wohl: x(orthogonal) = lineare hülle von x orthogonal. Wie zeige ich das? Mit welchem Ansatz muss ich rangehen? Bitte um Hilfe! |
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15.12.2013, 17:31 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist. man zeigt man am besten die beiden Inklusionen und (beide folgen direkt aus der Definition des Orthogonalkomplements) |
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16.12.2013, 07:51 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm... die Definition sagt mir aber nur: Wenn U Teilmenge V ist, dann ist U^T ein Unterraum... In wiefern hab ich das dann gezeigt, wenn beide Unterräume sind? |
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16.12.2013, 09:45 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das war wohl nicht die Definition - wie habt ihr denn eingeführt? |
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16.12.2013, 10:52 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, kannst du mir dann die Definition geben? Wir haben das so eingeführt: Deniere • ∀v ∈ V,w ∈ W : v ⊥ w ⇔ Ã(v,w) = 0. X⊥ = {w ∈ W|x ⊥ w für alle x ∈ X}. |
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16.12.2013, 10:54 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry: Für alle v in V, w in W : v senkrecht w <-> sigma(v,w) = 0 X senkrecht = {w in W| x senkrecht w für alle x in X} |
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16.12.2013, 11:23 | mengi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus
folgt sofort(!) die Inklusion Es ist also nur noch zu zeigen, d.h. dass alle Vektoren aus der rechten Menge senkrecht auf X stehen. Nutze die Eigenschaften des Skalarprodukts. |
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16.12.2013, 11:42 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok - in unserer Situation ist und Sigma das Skalarprodukt auf . Bezeichnen wir das Skalaprodukt mit anstelle von Sigma, so ist also für eine Teilmenge , und damit solltest du nun die beiden Inklusionen zeigen können |
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16.12.2013, 13:00 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
X ist Teilmenge von V, Damit ist X ein Unterraum von V und somit auch X Senkrecht. Andere Richtung wäre doch jetzt zu zeigen, dass die (Lineare Hülle von X) senkrecht auch dasselbe ist wie X senkrecht... Welche Eigenschaften vom Skalarprodukt soll ich hier nutzen? Die Lineare Hülle von X besteht aus Linearkombination von X, die V erzeugen/aufspannen... Müsste damit also auch X senkrecht darstellen können und ist auch Unterraum. Oder wie? |
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16.12.2013, 13:57 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, ist irgendeine Teilmenge von , muss also kein Unterrraum sein. Für die Inklusion musst du mit einem Element von beginnen: Sei etwa . Nun wollen wir zeigen, dass dann gilt ... |
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16.12.2013, 14:12 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, ich weiß es leider nicht... Kannst du mir den Lösungsweg zeigen? Vielleicht wird mir dadurch alles klarer... Bitte aber nur für die erste Inklusion... |
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16.12.2013, 14:22 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich bin sicher, dass du es selber hinkriegst: was müssen wir denn zeigen, damit ? (oben habe ich die Definition für aufgeschrieben, dh du musst dir dort einfach anstelle von denken) |
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16.12.2013, 16:04 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich fasse nochmal kurz zusammen: Du hast gesagt ich soll ein Element aus nehmen, sei ... Jetzt möchte ich zeigen, dass v ebenfalls in ist... Damit v in (Lin X) senkrecht ist, muss <v,x> = 0 sein für alle x in X? |
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16.12.2013, 17:08 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es sollte am Schluss heissen für alle . wie sieht aus? (dh wie ist die lineare Hülle definiert) |
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16.12.2013, 17:11 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry ich meinte |
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16.12.2013, 17:27 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
X ist eine Teilmenge des euklidischen Vektorraums V, durch die Linearkombinationen der Vektoren in X wird ein Unterraum von V aufgespannt oder erzeugt. Das ist die lineare Hülle... |
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16.12.2013, 17:46 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig, also es gibt und mit . Also ist |
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16.12.2013, 18:33 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Skalarprodukt aus v, x? x_1*lambda_1 + x_2*lambda_2+ ... +xn*lambda_n ? |
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16.12.2013, 19:00 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist ... einfach einsetzen für : und nun kann man eine Eigenschaft des Skalarproduktes verwenden |
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16.12.2013, 19:14 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah okay! Und wie lautet nun der Beweis formal korrekt? Entweder steh ich total auf dem Schlauch oder hab es immernoch nicht begriffen... |
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16.12.2013, 19:21 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
daran arbeiten wir ja - siehst du nun, was der nächste Schritt ist? |
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16.12.2013, 19:24 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würd mal behaupten, ich bilde das Skalarprodukt von v und der Summe und somit hab ich gezeigt, dass v in Lin X ist, weil v*x_i das bezeugt? |
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16.12.2013, 19:30 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube, du meinst das Richtige, aber du solltest es formal präziser ausdrücken: wie können wir das obige Skalarprodukt unformen? Welche Eigenschaft des Skalarproduktes hilft uns hier? |
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17.12.2013, 07:47 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
= v1 * + ... + vn * Kann man das v1 jetzt in die Summe reinziehen? |
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17.12.2013, 09:20 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es scheint mir, dass du an den denkst (wobei die obige Rechnung auch dort nicht stimmen würde) - beachte, dass irgendein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist - es muss nicht der mit dem Standard-Skalarprodukt sein. Ihr habt in der Vorlesung sicher mal allgemein Skalarprodukte in euklidischen Vektorräumen definiert, das solltest du nochmals anschauen. |
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17.12.2013, 10:37 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sigma : V x V -> R So haben wirs definiert? |
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17.12.2013, 10:59 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist noch nicht alles - dieses Sigma muss noch gewisse Eigenschaften erfüllen... |
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17.12.2013, 11:06 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du jetzt, dass das Sigma noch Bilinear sein muss oder was meinst du? |
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17.12.2013, 11:14 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, die Bilinearität hilft uns weiter... (übrigens hat ein Skalarprodukt noch weitere Eigenschaften: es ist positiv definit und (im reellen Fall) symmetrisch) |
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17.12.2013, 11:47 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, es ist bilinear in beiden Argumenten, d.h. ich kann es umformen, aber wonach? Ich dachte ich muss es nur so umformen, wie ich es oben getan habe... |
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17.12.2013, 12:00 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wir haben ja , und nun einfach die Linearität im zweiten Argument verwenden (du kannst auch das Skalarprodukt mit Sigma anstatt bezeichnen, wenn du willst) |
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17.12.2013, 12:43 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heißt das dann + Summe x_i ? Das wird immer alles mehr durcheinander... |
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17.12.2013, 13:03 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moment, die Definition heißt doch dass das skalarprodukt <v,x> ist... Wir haben doch jetzt die lineare Hülle da stehen: Ich habs gerade versucht umzuformen mittels dem Zweiten Argument, wenn es richtig sein sollte müsste doch da stehen: v * Lambda_i + v*x_i Sei Lambda 0, dann steht da v*x_i und das ist ja im prinzip <v,x>... Hab ich das richtig verstanden? |
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17.12.2013, 13:15 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du mit dem Stern jetzt das Skalarprodukt? Würde allerdings auch dann keinen Sinn machen Ausserdem können wir die Lambdas nicht wählen, sondern das sind irgendwelche reellen Zahlen. Beachte, dass das erste Argument unverändert bleibt: z.B. ist und analog kannst du nun bei einer Summe mit n Summanden vorgehen |
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17.12.2013, 13:59 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
= + ? Was muss ich denn jetzt machen? Langsam glaube ich, ich sollte die Aufgabe weglassen und mich mit den anderen beschäftigen^^ |
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17.12.2013, 15:56 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, ein Skalarprodukt kann ja nur mit zwei Vektoren gebildet werden, also macht der Ausdruck gar keinen Sinn... Um das ganze abzukürzen: Es gilt mit der Bilinearität Wegen ist für alle , und somit , dh |
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17.12.2013, 16:03 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
falls das Summenzeichen das Problem ist, kannst du es ja ausschreiben: und darauf die Formel für die Linearität im zweiten Argument (die ihr sicher bei der Definition des Skalarproduktes gesehen habt) anwenden |
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17.12.2013, 16:12 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sind das jetzt beide Inklusionen? Naja ich werd die Aufgabe nochmal in der Übungsgruppe dann durchbesprechen lassen, vielleicht versteh ich das ja dann^^ Danke dir trotzdem für deine Bemühungen! |
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17.12.2013, 16:34 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das war jetzt nur eine Inklusion - die andere (also ) sieht man ohne Rechnen |
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