Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist.

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Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »
Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist.
Hi,

[attach]32390[/attach]

Ich beschäftige mich gerade mit der Aufgabe und hab null Plan wie ich das zeigen soll...
Zu zeigen ist wohl: x(orthogonal) = lineare hülle von x orthogonal.

Wie zeige ich das? Mit welchem Ansatz muss ich rangehen? Bitte um Hilfe!
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist.
man zeigt man am besten die beiden Inklusionen und (beide folgen direkt aus der Definition des Orthogonalkomplements)
 
 
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... die Definition sagt mir aber nur:

Wenn U Teilmenge V ist, dann ist U^T ein Unterraum...

In wiefern hab ich das dann gezeigt, wenn beide Unterräume sind?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
die Definition sagt mir aber nur:

Wenn U Teilmenge V ist, dann ist U^T ein Unterraum...

das war wohl nicht die Definition - wie habt ihr denn eingeführt?
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, kannst du mir dann die Definition geben?

Wir haben das so eingeführt:

Deniere • &#8704;v &#8712; V,w &#8712; W : v &#8869; w &#8660; Ã(v,w) = 0.
X&#8869; = {w &#8712; W|x &#8869; w für alle x &#8712; X}.
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry:

Für alle v in V, w in W : v senkrecht w <-> sigma(v,w) = 0

X senkrecht = {w in W| x senkrecht w für alle x in X}
mengi Auf diesen Beitrag antworten »

Aus
Zitat:
Wenn U Teilmenge V ist, dann ist U^T ein Unterraum...

folgt sofort(!) die Inklusion
Es ist also nur noch zu zeigen, d.h. dass alle Vektoren aus der rechten Menge senkrecht auf X stehen. Nutze die Eigenschaften des Skalarprodukts.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

ok - in unserer Situation ist und Sigma das Skalarprodukt auf . Bezeichnen wir das Skalaprodukt mit anstelle von Sigma, so ist also für eine Teilmenge , und damit solltest du nun die beiden Inklusionen zeigen können
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

X ist Teilmenge von V,
Damit ist X ein Unterraum von V und somit auch X Senkrecht.

Andere Richtung wäre doch jetzt zu zeigen, dass die (Lineare Hülle von X) senkrecht auch dasselbe ist wie X senkrecht...

Welche Eigenschaften vom Skalarprodukt soll ich hier nutzen?
Die Lineare Hülle von X besteht aus Linearkombination von X, die V erzeugen/aufspannen... Müsste damit also auch X senkrecht darstellen können und ist auch Unterraum.

Oder wie?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
X ist Teilmenge von V,
Damit ist X ein Unterraum von V

nein, ist irgendeine Teilmenge von , muss also kein Unterrraum sein.
Für die Inklusion musst du mit einem Element von beginnen: Sei etwa . Nun wollen wir zeigen, dass dann gilt ...
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich weiß es leider nicht...

Kannst du mir den Lösungsweg zeigen? Vielleicht wird mir dadurch alles klarer... Bitte aber nur für die erste Inklusion...
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin sicher, dass du es selber hinkriegst: was müssen wir denn zeigen, damit ? (oben habe ich die Definition für aufgeschrieben, dh du musst dir dort einfach anstelle von denken)
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse nochmal kurz zusammen:
Du hast gesagt ich soll ein Element aus nehmen, sei ...
Jetzt möchte ich zeigen, dass v ebenfalls in ist...

Damit v in (Lin X) senkrecht ist, muss <v,x> = 0 sein für alle x in X?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
Damit v in (Lin X) senkrecht ist, muss <v,x> = 0 sein für alle x in X?

es sollte am Schluss heissen für alle .
wie sieht aus? (dh wie ist die lineare Hülle definiert)
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

sorry ich meinte
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

X ist eine Teilmenge des euklidischen Vektorraums V, durch die Linearkombinationen der Vektoren in X wird ein Unterraum von V aufgespannt oder erzeugt. Das ist die lineare Hülle...
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, also es gibt und mit . Also ist
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Skalarprodukt aus v, x?
x_1*lambda_1 + x_2*lambda_2+ ... +xn*lambda_n
?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
x_1*lambda_1 + x_2*lambda_2+ ... +xn*lambda_n
?

verwirrt das ist ... einfach einsetzen für :
und nun kann man eine Eigenschaft des Skalarproduktes verwenden
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay!
Und wie lautet nun der Beweis formal korrekt?

Entweder steh ich total auf dem Schlauch oder hab es immernoch nicht begriffen...
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
Und wie lautet nun der Beweis formal korrekt?

daran arbeiten wir ja - siehst du nun, was der nächste Schritt ist?
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würd mal behaupten, ich bilde das Skalarprodukt von v und der Summe und somit hab ich gezeigt, dass v in Lin X ist, weil v*x_i das bezeugt?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube, du meinst das Richtige, aber du solltest es formal präziser ausdrücken: wie können wir das obige Skalarprodukt unformen? Welche Eigenschaft des Skalarproduktes hilft uns hier?
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »



=

v1 * + ... + vn *

Kann man das v1 jetzt in die Summe reinziehen?

EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Es scheint mir, dass du an den denkst (wobei die obige Rechnung auch dort nicht stimmen würde) - beachte, dass irgendein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist - es muss nicht der mit dem Standard-Skalarprodukt sein. Ihr habt in der Vorlesung sicher mal allgemein Skalarprodukte in euklidischen Vektorräumen definiert, das solltest du nochmals anschauen.
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Sigma : V x V -> R

So haben wirs definiert?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

das ist noch nicht alles - dieses Sigma muss noch gewisse Eigenschaften erfüllen...
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du jetzt, dass das Sigma noch Bilinear sein muss oder was meinst du?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

ja, die Bilinearität hilft uns weiter...
(übrigens hat ein Skalarprodukt noch weitere Eigenschaften: es ist positiv definit und (im reellen Fall) symmetrisch)
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, es ist bilinear in beiden Argumenten, d.h. ich kann es umformen, aber wonach?

Ich dachte ich muss es nur so umformen, wie ich es oben getan habe...
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben ja , und nun einfach die Linearität im zweiten Argument verwenden (du kannst auch das Skalarprodukt mit Sigma anstatt bezeichnen, wenn du willst)
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das dann
+ Summe x_i ?

Das wird immer alles mehr durcheinander...
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, die Definition

heißt doch dass das skalarprodukt <v,x> ist...

Wir haben doch jetzt die lineare Hülle da stehen:

Ich habs gerade versucht umzuformen mittels dem Zweiten Argument, wenn es richtig sein sollte müsste doch da stehen:

v * Lambda_i + v*x_i

Sei Lambda 0, dann steht da v*x_i und das ist ja im prinzip <v,x>... Hab ich das richtig verstanden?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
v * Lambda_i + v*x_i

Meinst du mit dem Stern jetzt das Skalarprodukt? Würde allerdings auch dann keinen Sinn machen
Ausserdem können wir die Lambdas nicht wählen, sondern das sind irgendwelche reellen Zahlen.

Beachte, dass das erste Argument unverändert bleibt: z.B. ist


und analog kannst du nun bei einer Summe mit n Summanden vorgehen
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

= + ?

Was muss ich denn jetzt machen?

Langsam glaube ich, ich sollte die Aufgabe weglassen und mich mit den anderen beschäftigen^^
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ein Skalarprodukt kann ja nur mit zwei Vektoren gebildet werden, also macht der Ausdruck gar keinen Sinn...

Um das ganze abzukürzen: Es gilt mit der Bilinearität
Wegen ist für alle , und somit , dh
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

falls das Summenzeichen das Problem ist, kannst du es ja ausschreiben:

und darauf die Formel für die Linearität im zweiten Argument (die ihr sicher bei der Definition des Skalarproduktes gesehen habt) anwenden
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Sind das jetzt beide Inklusionen?
Naja ich werd die Aufgabe nochmal in der Übungsgruppe dann durchbesprechen lassen, vielleicht versteh ich das ja dann^^

Danke dir trotzdem für deine Bemühungen!
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

das war jetzt nur eine Inklusion - die andere (also ) sieht man ohne Rechnen
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