Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist.

15.12.2013, 16:39

Schattenklinge

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Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist.

Hi,

[attach]32390[/attach]

Ich beschäftige mich gerade mit der Aufgabe und hab null Plan wie ich das zeigen soll...
Zu zeigen ist wohl: x(orthogonal) = lineare hülle von x orthogonal.

Wie zeige ich das? Mit welchem Ansatz muss ich rangehen? Bitte um Hilfe!

15.12.2013, 17:31

EinGast

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RE: Euklidischer Vektorraum - Zeigen Sie, dass X(orthogonal) = <X>(orthogonal) ist.
man zeigt man am besten die beiden Inklusionen $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ (beide folgen direkt aus der Definition des Orthogonalkomplements)

16.12.2013, 07:51

Schattenklinge

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Hm... die Definition sagt mir aber nur:

Wenn U Teilmenge V ist, dann ist U^T ein Unterraum...

In wiefern hab ich das dann gezeigt, wenn beide Unterräume sind?

16.12.2013, 09:45

EinGast

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Zitat:

Original von Schattenklinge
die Definition sagt mir aber nur:

Wenn U Teilmenge V ist, dann ist U^T ein Unterraum...

das war wohl nicht die Definition - wie habt ihr denn $\begin{eqnarray*} X^\perp \end{eqnarray*}$ eingeführt?

16.12.2013, 10:52

Schattenklinge

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Hm, kannst du mir dann die Definition geben?

Wir haben das so eingeführt:

Deniere • ∀v ∈ V,w ∈ W : v ⊥ w ⇔ Ã(v,w) = 0.
X⊥ = {w ∈ W|x ⊥ w für alle x ∈ X}.

16.12.2013, 10:54

Schattenklinge

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Sorry:

Für alle v in V, w in W : v senkrecht w <-> sigma(v,w) = 0

X senkrecht = {w in W| x senkrecht w für alle x in X}

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16.12.2013, 11:23

mengi

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Aus

Zitat:

Wenn U Teilmenge V ist, dann ist U^T ein Unterraum...

folgt sofort(!) die Inklusion $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$
Es ist also nur noch $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ zu zeigen, d.h. dass alle Vektoren aus der rechten Menge senkrecht auf X stehen. Nutze die Eigenschaften des Skalarprodukts.

16.12.2013, 11:42

EinGast

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ok - in unserer Situation ist $\begin{eqnarray*} V=W \end{eqnarray*}$ und Sigma das Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Bezeichnen wir das Skalaprodukt mit $\begin{eqnarray*} \langle\cdot, \cdot\rangle \end{eqnarray*}$ anstelle von Sigma, so ist also $\begin{eqnarray*} X^\perp=\{v\in V\mid \langle v,x\rangle=0 \text{ für alle }x\in X\} \end{eqnarray*}$ für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} X\subset V \end{eqnarray*}$ , und damit solltest du nun die beiden Inklusionen zeigen können

16.12.2013, 13:00

Schattenklinge

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X ist Teilmenge von V,
Damit ist X ein Unterraum von V und somit auch X Senkrecht.

Andere Richtung wäre doch jetzt zu zeigen, dass die (Lineare Hülle von X) senkrecht auch dasselbe ist wie X senkrecht...

Welche Eigenschaften vom Skalarprodukt soll ich hier nutzen?
Die Lineare Hülle von X besteht aus Linearkombination von X, die V erzeugen/aufspannen... Müsste damit also auch X senkrecht darstellen können und ist auch Unterraum.

Oder wie?

16.12.2013, 13:57

EinGast

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Zitat:

Original von Schattenklinge
X ist Teilmenge von V,
Damit ist X ein Unterraum von V

nein, $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist irgendeine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , muss also kein Unterrraum sein.
Für die Inklusion $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ musst du mit einem Element von $\begin{eqnarray*} X^\perp \end{eqnarray*}$ beginnen: Sei etwa $\begin{eqnarray*} v\in X^\perp \end{eqnarray*}$ . Nun wollen wir zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} v\in(\operatorname{Lin} X)^\perp \end{eqnarray*}$ gilt ...

16.12.2013, 14:12

Schattenklinge

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Okay, ich weiß es leider nicht...

Kannst du mir den Lösungsweg zeigen? Vielleicht wird mir dadurch alles klarer... Bitte aber nur für die erste Inklusion...

16.12.2013, 14:22

EinGast

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ich bin sicher, dass du es selber hinkriegst: was müssen wir denn zeigen, damit $\begin{eqnarray*} v\in(\operatorname{Lin} X)^\perp \end{eqnarray*}$ ? (oben habe ich die Definition für $\begin{eqnarray*} X^\perp \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben, dh du musst dir dort einfach $\begin{eqnarray*} \operatorname{Lin} X \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ denken)

16.12.2013, 16:04

Schattenklinge

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Ich fasse nochmal kurz zusammen:
Du hast gesagt ich soll ein Element aus $\begin{eqnarray*} X^\perp \end{eqnarray*}$ nehmen, sei $\begin{eqnarray*} v\in X^\perp \end{eqnarray*}$ ...
Jetzt möchte ich zeigen, dass v ebenfalls in $\begin{eqnarray*} v\in(\operatorname{Lin} X)^\perp \end{eqnarray*}$ ist...

Damit v in (Lin X) senkrecht ist, muss <v,x> = 0 sein für alle x in X?

16.12.2013, 17:08

EinGast

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Zitat:

Original von Schattenklinge
Damit v in (Lin X) senkrecht ist, muss <v,x> = 0 sein für alle x in X?

es sollte am Schluss heissen für alle $\begin{eqnarray*} x\in\operatorname{Lin} X \end{eqnarray*}$ .
wie sieht $\begin{eqnarray*} v\in\operatorname{Lin} X \end{eqnarray*}$ aus? (dh wie ist die lineare Hülle definiert)

16.12.2013, 17:11

EinGast

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sorry ich meinte $\begin{eqnarray*} x\in\operatorname{Lin}X \end{eqnarray*}$

16.12.2013, 17:27

Schattenklinge

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X ist eine Teilmenge des euklidischen Vektorraums V, durch die Linearkombinationen der Vektoren in X wird ein Unterraum von V aufgespannt oder erzeugt. Das ist die lineare Hülle...

16.12.2013, 17:46

EinGast

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richtig, also es gibt $\begin{eqnarray*} x_1,\dots,x_n\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\dots, \lambda_n\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle=.... \end{eqnarray*}$

16.12.2013, 18:33

Schattenklinge

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Skalarprodukt aus v, x?
x_1*lambda_1 + x_2*lambda_2+ ... +xn*lambda_n
?

16.12.2013, 19:00

EinGast

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Zitat:

Original von Schattenklinge
x_1*lambda_1 + x_2*lambda_2+ ... +xn*lambda_n
?

verwirrt

das ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ... einfach einsetzen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle=\langle v,\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i\rangle \end{eqnarray*}$ und nun kann man eine Eigenschaft des Skalarproduktes verwenden

16.12.2013, 19:14

Schattenklinge

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Ah okay!
Und wie lautet nun der Beweis formal korrekt?

Entweder steh ich total auf dem Schlauch oder hab es immernoch nicht begriffen...

16.12.2013, 19:21

EinGast

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Zitat:

Original von Schattenklinge
Und wie lautet nun der Beweis formal korrekt?

daran arbeiten wir ja - siehst du nun, was der nächste Schritt ist?

16.12.2013, 19:24

Schattenklinge

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Ich würd mal behaupten, ich bilde das Skalarprodukt von v und der Summe und somit hab ich gezeigt, dass v in Lin X ist, weil v*x_i das bezeugt?

16.12.2013, 19:30

EinGast

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ich glaube, du meinst das Richtige, aber du solltest es formal präziser ausdrücken: wie können wir das obige Skalarprodukt unformen? Welche Eigenschaft des Skalarproduktes hilft uns hier?

17.12.2013, 07:47

Schattenklinge

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$\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle=\langle v,\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i\rangle \end{eqnarray*}$

=

v1 * $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i \end{eqnarray*}$ + ... + vn * $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i \end{eqnarray*}$

Kann man das v1 jetzt in die Summe reinziehen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i*v \end{eqnarray*}$

17.12.2013, 09:20

EinGast

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Es scheint mir, dass du an den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ denkst (wobei die obige Rechnung auch dort nicht stimmen würde) - beachte, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ irgendein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist - es muss nicht der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit dem Standard-Skalarprodukt sein. Ihr habt in der Vorlesung sicher mal allgemein Skalarprodukte in euklidischen Vektorräumen definiert, das solltest du nochmals anschauen.

17.12.2013, 10:37

Schattenklinge

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Sigma : V x V -> R

So haben wirs definiert?

17.12.2013, 10:59

EinGast

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das ist noch nicht alles - dieses Sigma muss noch gewisse Eigenschaften erfüllen...

17.12.2013, 11:06

Schattenklinge

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Meinst du jetzt, dass das Sigma noch Bilinear sein muss oder was meinst du?

17.12.2013, 11:14

EinGast

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ja, die Bilinearität hilft uns weiter...
(übrigens hat ein Skalarprodukt noch weitere Eigenschaften: es ist positiv definit und (im reellen Fall) symmetrisch)

17.12.2013, 11:47

Schattenklinge

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Gut, es ist bilinear in beiden Argumenten, d.h. ich kann es umformen, aber wonach?

Ich dachte ich muss es nur so umformen, wie ich es oben getan habe...

17.12.2013, 12:00

EinGast

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wir haben ja $\begin{eqnarray*} \langle v,\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\rangle \end{eqnarray*}$ , und nun einfach die Linearität im zweiten Argument verwenden (du kannst auch das Skalarprodukt mit Sigma anstatt $\begin{eqnarray*} \langle\cdot, \cdot\rangle \end{eqnarray*}$ bezeichnen, wenn du willst)

17.12.2013, 12:43

Schattenklinge

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Heißt das dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\lambda_i \end{eqnarray*}$ + Summe x_i ?

Das wird immer alles mehr durcheinander...

17.12.2013, 13:03

Schattenklinge

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Moment, die Definition $\begin{eqnarray*} X^\perp=\{v\in V\mid \langle v,x\rangle=0 \text{ für alle }x\in X\} \end{eqnarray*}$

heißt doch dass das skalarprodukt <v,x> ist...

Wir haben doch jetzt die lineare Hülle da stehen: $\begin{eqnarray*} \langle v,\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\rangle \end{eqnarray*}$

Ich habs gerade versucht umzuformen mittels dem Zweiten Argument, wenn es richtig sein sollte müsste doch da stehen:

v * Lambda_i + v*x_i

Sei Lambda 0, dann steht da v*x_i und das ist ja im prinzip <v,x>... Hab ich das richtig verstanden?

17.12.2013, 13:15

EinGast

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Zitat:

Original von Schattenklinge
v * Lambda_i + v*x_i

Meinst du mit dem Stern jetzt das Skalarprodukt? Würde allerdings auch dann keinen Sinn machen
Ausserdem können wir die Lambdas nicht wählen, sondern das sind irgendwelche reellen Zahlen.

Beachte, dass das erste Argument unverändert bleibt: z.B. ist
$\begin{eqnarray*} \langle v,2x_1-x_2\rangle=2\langle v,x_1\rangle-\langle v, x_2\rangle \end{eqnarray*}$

und analog kannst du nun bei einer Summe mit n Summanden vorgehen

17.12.2013, 13:59

Schattenklinge

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$\begin{eqnarray*} \langle v,\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\rangle \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \langle v,\sum_{i=1}^n\lambda_i\rangle \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \langle v,\sum_{i=1}^nx_i\rangle \end{eqnarray*}$ ?

Was muss ich denn jetzt machen?

Langsam glaube ich, ich sollte die Aufgabe weglassen und mich mit den anderen beschäftigen^^

17.12.2013, 15:56

EinGast

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nein, ein Skalarprodukt kann ja nur mit zwei Vektoren gebildet werden, also macht der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \langle v,\sum_{i=1}^n\lambda_i \rangle \end{eqnarray*}$ gar keinen Sinn...

Um das ganze abzukürzen: Es gilt mit der Bilinearität $\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle =\langle v,\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\rangle= \sum_{i=1}^n\langle v,\lambda_ix_i \rangle =\sum_{i=1}^n\lambda_i \langle v,x_i\rangle \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} v\in X^\perp \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \langle v,x_i\rangle=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,\dots,n \end{eqnarray*}$ , und somit $\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle=0 \end{eqnarray*}$ , dh $\begin{eqnarray*} v\in(\operatorname{Lin} X)^\perp \end{eqnarray*}$

17.12.2013, 16:03

EinGast

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falls das Summenzeichen das Problem ist, kannst du es ja ausschreiben:
$\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle =\langle v,\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n\rangle \end{eqnarray*}$
und darauf die Formel für die Linearität im zweiten Argument (die ihr sicher bei der Definition des Skalarproduktes gesehen habt) anwenden

17.12.2013, 16:12

Schattenklinge

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Sind das jetzt beide Inklusionen?
Naja ich werd die Aufgabe nochmal in der Übungsgruppe dann durchbesprechen lassen, vielleicht versteh ich das ja dann^^

Danke dir trotzdem für deine Bemühungen!

17.12.2013, 16:34

EinGast

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das war jetzt nur eine Inklusion - die andere (also $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ) sieht man ohne Rechnen

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