Negative Binomialverteilung (Warten auf n-ten Erfolg)

15.12.2013, 19:47	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Negative Binomialverteilung (Warten auf n-ten Erfolg) Meine Frage: Hallo Leute, ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe: Wir betrachten ein wiederholt ausgeführtes Experiment, von denen jedes unabhängig von Ausgang aller anderen Experimente die Erfolgswkt. $\begin{eqnarray} p \in (0,1) \end{eqnarray}$ besitzt. Es sei $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ die Wartezeit auf den $\begin{eqnarray} n - \end{eqnarray}$ ten Erfolg, $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Verteilung von $\begin{eqnarray} T_n - n \end{eqnarray}$ gegeben ist durch die sogenannte Negative Binomialverteilung: $\begin{eqnarray} \overline{Bin_{n,p}}(k) = \begin{pmatrix} -n \\ k \end{pmatrix}p^n(p-1)^k \ ,k \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also Wenn das Experiment jetzt zum Beispiel so aussieht: (0 Kein Erfolg, 1 Erfolg ) $\begin{eqnarray} 00010100010001 \end{eqnarray}$ dann habe ich ja: $\begin{eqnarray} T_1 = 4, T_2 = 6, T_3 = 10, T_4 = 14 \end{eqnarray}$ Jetzt wollte ich zunächst mal die Verteilung von T_n bestimmen: T_n = k, dazu muss A: $\begin{eqnarray} k - \end{eqnarray}$ tes Experiment ist Erfolg B: bei den $\begin{eqnarray} k-1 \end{eqnarray}$ Experimenten zu vor muss ich $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Erfolge gehabt haben. gleichzeitig eintreten: Für A gilt ja einfach: $\begin{eqnarray} \mathbb P (A) = p \end{eqnarray}$ und B ist meines wissen Binomialverteilt also: $\begin{eqnarray} \mathbb P (B) = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix}p^{k-1} (1-p)^{(n-k)} \end{eqnarray}$ Wenn ich dann $\begin{eqnarray} \mathbb P(A) \cdot \mathbb P(B) \end{eqnarray}$ rechne erhalten ich: $\begin{eqnarray} \mathbb P(A) \cdot \mathbb P(B) = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix}p^{k} (1-p)^{(n-k)} \end{eqnarray}$ Dies ist nun die Verteilung meiner Wartezeit auf den n-ten Erfolg. Nun weiß ich beim besten Willen nicht, wie ich durch das $\begin{eqnarray} -n \end{eqnarray}$ auf die obige Darstellung der negativen Binomialverteilung kommen soll. Daher wäre ich für einen Tipp echt sehr dankbar! Gruß Stevie EDIT: Ich habe mittlerweile rausgefunden, dass $\begin{eqnarray} T_n - n \end{eqnarray}$ der Anzahl der Misserfolge vor dem $\begin{eqnarray} n - \end{eqnarray}$ ten Erfolg entspricht. Aber auch hier komme ich nicht auf die gewünschte Formen
16.12.2013, 10:19	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Negative Binomialverteilung (Warten auf n-ten Erfolg) Hat sich erledigt, habe rausgefunden, dass: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} k+r-1 \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k\begin{pmatrix} -r \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt.

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