Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt

15.12.2013, 20:21	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt Es seien f : R -> R eine stetige Funktion und $\begin{eqnarray} X \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ eine abgeschlossene und nach oben und nach unten beschränkte Menge. Zeigen sie, dass f(X) ebenfalls abgeschlossen und sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Alles was ich dazu gefunden hab, waren Topologische Beweise, wir hatten aber noch nichts dazu, genauso wie wir den Begriff der Kompaktheit nicht hatten. Ich muss also einzeln Abgeschlossenheit und Beschränktheit zeigen. Wähle $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y_n=f(x_n) und x_n \in X \end{eqnarray}$ Für alle konvergenten Teilfolgen x_{nk} von x_n gilt $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty} x_{nk} \in X) \end{eqnarray}$ , da abgeschlossen (Existenz folgt aus X beschränkt). f stetig, also $\begin{eqnarray} x_{nk} -> X => f(x_{nk}) \to f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{nk}=f(x_{nk}) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty} y_{nk} \in f(X) \end{eqnarray}$ Hieraus folgt abgeschlossenheit von f(X) da die Implikation für alle Grenzwerte gilt. Für die Beschränktheit: X beschränkt und abgeschlossen also gibt es min(X)=a, max(X)=b in X Beweis durch Widerspruch: Angenommen f(X) ist nicht beschränkt => Es gibt es zu jedem n \in \mathbb N ein y_n \in f(X) ein y_n>n Sei n=[f(b)] + 1 (aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl) Dann ist y_n=f(x_n) > [f(b)] + 1 = n Hier weiß ich nicht mehr weiter, wie komme ich jetzt hierzu: x_n->b+1 , Widerspruch zu Abgeschlossenheit Danke und gruß!
15.12.2013, 20:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt Du hast n<y_n=f(x_n) Wähle aus der Folge (x_n) eine konvergente Teilfolge.
15.12.2013, 22:01	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt Ok, kann man so argumentieren? Sei $\begin{eqnarray} f^{-1}(n)=b+1 \end{eqnarray}$ Das ist die Kontraposition von der Def. der Stetigkeit: $\begin{eqnarray} <br /> lim_{n \to \infty} y_n \neq n<br /> => limx_{n \to \infty} x_n \neq f^{-1}(n)<br /> \end{eqnarray}$ Widerspruch zur Abgeschlossenheit von X. Ich glaube nicht, aber ich tue mich irgendwie schwer bei solchen Beweisen.
15.12.2013, 22:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt Ich verstehe nicht, was du da machst Sieht für mich komplett sinnlos aus. Warum nicht wie vorgeschlagen die konv. TF und damit einen Widerspruch?
16.12.2013, 17:38	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was bringt mir das? X ist beschränkt, also wird meine Teilfolge auch in X sein, ich weiß nicht wie daraus ein Widerspruch entsteht. Wie gesagt, ich tue mich schwer mit Beweisen wo irgendwas selbst definieren muss.
16.12.2013, 19:49	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok mir ist noch was eingefallen: Sei x_n_k eine konvergente Teilfolge von x_n Also x_n_k -> x0 in X dann müsste mit f stetig f(x_n_k) -> f(x0) gelten. Aber da f(x_n_k) unbeschränkt gilt f(x_n_k) -> unendlich Also ein Widerspruch und es folgt, dass f(X) unbeschränkt ist. Geht das? oder gibt es garkein y_n_k wenn y_n unbeschränkt ist?
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16.12.2013, 20:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
so geht's und es folgt natürlich, dass (X) beschränkt ist (nicht unbeschränkt, wie du versehentlich geschrieben hast) siehst du, geht doch
16.12.2013, 21:50	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
cool! ohja, da sollte beschränkt stehen danke dir!

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