Extrema im R^3

16.12.2013, 11:57	T.I.M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema im R^3 Meine Frage: Hi, ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Man soll den kritischen Punkt der Funktion f:R^3-->R, f(x,y,z) = xe^y+yz+zx berechnen und begründen, ob es sich um ein lokales Extremum handelt. Meine Ideen: Mit Hilfe des Gradienten habe ich bereits den kritischen Punkt (x=1, y=-1, z=-1/e) herausgefunden. Wenn ich diesen in meine aufgestellte Hessematrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & e^{y} & 1 \\ e^{y} & xe^{y} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einsetze erhalte ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{e} & 1 \\ \frac{1}{e} & \frac{1}{e} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jedoch kann ich wege $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{e} \\ \frac{1}{e} & \frac{1}{e} \end{pmatrix} = -1/e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{e} & 1 \\ \frac{1}{e} & \frac{1}{e} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1/e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} det(0)= 0 \end{eqnarray}$ keine Aussage treffen. Wie mache ich jetzt weter? Kann ich das mit Hilfe der Höhenlinienmethode versuchen und sagen: Wegen f(\Im ,0,0)-f(o,o,o)=\Im *e^y >0 und f(0,0,\Im )-f(0,0,0)=0 existiert kein lokales Extremum Oder bin ich mit Letzterem auf dem Holzweg? Vielen Dank schon mal! LaTeX-Tags... Steffen
16.12.2013, 12:51	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_Punkt_(Mathematik) Du musst schauen ob die Hessematrix an der deiner kritischen Stelle positiv Definit => Tiefpunkt negativ Definit => Hochpunkt indefinit Definit => Sattelpunkt
16.12.2013, 12:57	T.I.M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hab ich schon verstanden, aber in meinem Fall ist sie doch weder positiv/negativ definit, noch indefinit... Und nun?
16.12.2013, 13:01	T.I.M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann ich doch unter anderem mit Hilfe der Determinante machen oder etwa nicht? Mich verwirrt es nur immer, wenn ich im ersten Eintrag der Matrix eine 0 stehen hab...
16.12.2013, 13:02	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem Fall ist es indefinit. WolframAlpha mit folgendem Befehl: eigenvalues {{0,1/e,1},{1/e,1/e,1},{1,1,0}} Du hast sowohl positive als auch negative Eigenwerte, also Indefinit. Und da die hessematrix invertierbar (weil Determinante ungleich 0) ist, ist der Punkt auch nicht enartet und es ist eines dieser drei Möglichkeiten.
16.12.2013, 13:06	T.I.M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, vielen Dank!
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