Hintereinanderausführung von Drehungen um verschiedene Punkte

16.12.2013, 17:02	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hintereinanderausführung von Drehungen um verschiedene Punkte Moin, ich habe hier aktuell eine Aufgabe, wo ich nicht genau weiß, ob ich nicht am Ziel vorbei arbeite. Die Aufgabe ist kurz und knackig: Seien $\begin{eqnarray} \theta_{A,\alpha} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \theta_{B,-\alpha} \end{eqnarray}$ die affine Drehung um den Punkt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bzw. die affine Drehung um den Punkt $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit Winkel $\begin{eqnarray} -\alpha \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie $\begin{eqnarray} \theta_{A,\alpha} \circ \theta_{B,-\alpha} \end{eqnarray}$ Ich würde jetzt folgendermaßen vorgehen. 1. Den Punkt, welcher um $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ gedreht werden soll zuerst so verschieben, dass ich um den Ursprung drehen kann. 2. Mit der Drehmatrix um den Winkel $\begin{eqnarray} -\alpha \end{eqnarray}$ drehen. 3. Die Verschiebung von 1. rückgängig machen, also zurück schieben. 4. Den gedrehten und zurückgeschobenen Punkt jetzt so verschieben, dass ich statt um A zu drehen, wieder um den Ursprung drehen kann. 5. Wieder drehen, diesmal um den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ 6. Die Verschiebung von 4. wieder rückgängig machen durch zurückschieben. Das kann ich ja darstellen durch Vektoraddition und Multiplikation mit der Drehmatrix. Glaubt ihr, dass das gefragt ist? Oder was würdet ihr machen? Ich bin ein wenig unsicher, ob meine Lösung nicht irgendwie an der Aufgabenstellung vorbei geht. Gruß Martin
16.12.2013, 17:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Plan ist gut. Hau ran. tipp: 1) B nach 0 schieben ... 3) 0 nach B schieben 4) A nach 0 schieben ... 6) 0 nach A schieben. Hinweis: Aus dem Schulunterricht kann ich mich dunkel erinnern, dass dann wieder eine Isometrie entstehen wird.
16.12.2013, 17:38	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich schreibe dann mal den Punkt, welcher gedreht werden soll als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Den Punkt A schreibe ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Den Punkt B als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann ergibt sich zuerst als Drehung um den Punkt B: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(-\alpha) & -sin(-\alpha) \\ sin(-\alpha) & cos(-\alpha) \end{pmatrix} (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}) +\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diesen Punkt drehe ich dann um den Punkt A und erhalte: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} ( \ \ \ \begin{pmatrix} cos(-\alpha) & -sin(-\alpha) \\ sin(-\alpha) & cos(-\alpha) \end{pmatrix} (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}) +\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \ \ \ )+ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Es ist wahrscheinlich nicht zumutbar, dass ich das morgen einfach so an die Tafel schreibe oder? Naja ich fange mal an, das ganze zusammenzufassen....
16.12.2013, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja. Noch ein Tipp: Translationen und Drehungen lassen sich jeweils als Produkte zweier Spiegelungen darstellen. Die Menge der Translationen und Drehungen, also die Menge der Bewegungen, ist abgeschlossen bezüglich Hintereinanderausführung. Letzlich muss also wieder das Produkt zweier Spiegelungen herauskommen. Die Gruppe der Isometrien besteht übrigens aus Translationen, Drehungen und Spiegelungen. Jede Isometrie ist die Hintereinanderausführung von maximal 3 Spiegelungen.
16.12.2013, 18:01	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergisst du da nicht die Gleitspiegelungen? Das würde auch Sinn machen, weil du dir sonst widersprichst (glaube ich). Wenn sich nämlich Translation und Drehung als Produkt zweier Spiegelungen darstellen lassen und es nur Translation, Drehung und Spiegelung gibt und sich eine Spiegelung ja als Hintereinanderausführung genau einer Spiegelung schreiben lässt, gäbe es nichts mehr, was sich als Hintereinanderausführung von drei Spiegelungen schreiben ließe. Oder hast du Gleitspiegelung und Spiegelung zusammen gefasst in einen Begriff? Wäre das denn einfacher? Jeweils die Drehung als zwei Spiegelungen schreiben und dann die Spiegelungen kombinieren? Oder läuft das auf die gleiche Rechnerei hinaus? EDIT: Wenn ich mich an die Sinus und Kosinus Regeln erinnert hätte, hätte ich vielleicht früher eine Chance zur Vereinfachung gesehen. Es gilt ja: sin(-m) = -sin(m) und cos(-m) = cos(m). Damit komm ich bestimmt irgendwie zu den Additionstheoremen ... Gruß Martin
16.12.2013, 18:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, du hast recht. Drei Spiegelungen ergeben eine Gleitspiegelung. Ich fürchte, du musst in jedem Fall rechnen. Die Übersetzung von Translation und Drehung in je zwei Spiegelungen bekommst du nicht geschenkt. Wenn du Zeit hast, mach beides und vergleiche die Resultate. Als Theorie ist es auf jeden Fall erwähnenswert, dass hier Gruppen von Bewegungen und Isometrien vorliegen.
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