maximales Widerstandsmoment berechnen |
| 16.12.2013, 18:07 | da_zodelte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| maximales Widerstandsmoment berechnen Liebe Community, wär schön, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet. Hier erstmal die Aufgabenstellung: Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, dass sein Widerstands- moment W = 1/6*bh² den größtmöglichen Wert annimmt (d.h. der Balken soll so stabil wie m oglich sein). Berechnen Sie b und h in Abhängigkeit von d so, dass W maximal wird. (Wenn es noch Unklarheiten bei den Variablen gibt --> Siehe Skizze) Meine Ideen: Meine Idee war folgende: Finde zwei Gleichungen, in denen b, h und d vorkommen. Löse die eine nach b auf und setze das Ergebnis in die zweite Gleichung ein. Dann noch alle d auf eine Seite bringen und die Abhängigkeit von d wäre geschafft. Eine Gleichung ist leicht zu finden, Pythagoras (also d²=b²+h²) Zweite Gleichung hätte ich über die Trigonometrie versucht, nur hat man ja dann auch wieder eine weitere Unbekannte, den Winkel. Vermutlich bin ich auf dem falschen Dampfer. Ratschlag wäre klasse 
.Dann gehts weiter. Angenommen ich habe bh in d ausgedrückt. Wie ist der Ansatz, um das Maximum auszurechnen? Meine Idee hierzu (ich ersetz jetzt einfach mal bh durch d): Folgendes als Funktion ansehen: W(d) = 1/6 d² Dann das Integral bilden und eine Extremwertberechnung durchführen, richtig? Liebe Grüße Jens |
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| 16.12.2013, 20:01 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der Pythagoras liefert die Relation von b und h. Schaut man sich die Hauptfunktion an, sieht man h^2. Daraus ergibt sich die sinnige Auflösung der Nebenbedingung. Integriert wird nicht, warum auch 
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| 17.12.2013, 00:29 | da_zodelte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass Pythagoras die Relation von b und h liefert, leuchtet mir ein. (d=(b² + h²)^1/2) Aber inwieweit sieht man an dem h², dass sich die Nebenbedingung auflöst? |
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| 17.12.2013, 01:18 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Grenzwertige Bemerkung gelöscht. 
SteffenDie Hauptfunktion hängt von 2 Variablen b, h ab. Das zu maximieren wäre ja langweilig. Man macht einfach beide riesig groß. = Superdicker Stamm. W(h,b)= 1/6bh^2 um das einzuschränken braucht man eine Nebenbedingung. Hier: die Stammdicke ist mit d vorgegeben. Setzt man diese Einschränkung in W(h,b) ein, erhält man eine Funktion mit nur einer Variablen: Entweder in h oder in b. W(h,b)-->W(h)-->W(b) . und diese Funktion wird nun auf ein lokales Maximum untersucht. Das sollte zuerst mal klar werden. |
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| 19.12.2013, 13:49 | da_zodelte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es tut mir Leid, aber ganz folgen kann ich dir immer noch nicht.... Die zwei Variablen b und h einfach riesig groß machen und einen Superstamm erhalten funktioniert ja eig. laut Aufgabe schon gar nicht, da der Stamm schon gegeben ist, aber das nur nebenbei. Die Hauptfunktion ist klar. Nebenfunktion Pythagoras, also: h² = d² - b² Das ganze eingesetzt ergibt: Nach meinem Verständnis müsste ich jetzt das Maximum finden, indem ich die erste Ableitung null setze und die zweite Ableitung kleiner Null (--> Hochpunkt) ergibt. Nach b abgeleitet erhalte ich: Die Ableitung hat zwei Nullstellen, da die Ausgangsfunktion 3. Grades ist. Eine davon zeigt den Hoch-, die andere den Tiefpunkt an. So weit noch klar. Doch wie, und hier bräuchte ich bitte eine schön verständlich, ausführliche Antwort, bekomm ich jetzt die Nullstellen der ersten Ableitung raus und somit den Hochpunkt des Graphen bzw. das Maximum. Die Mitternachtsformel ergibt bei mir was ungültiges, da die Wurzel im Zähler auf jeden Fall negativ sein muss ( 4 * (-0,5) * 1/6d²) Liebe Grüße nochmal, Jens |
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| 19.12.2013, 18:10 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, warum nicht gleich so !
bitte meinen Thread auch lesen: ... um das einzuschränken braucht man eine Nebenbedingung. Hier: die Stammdicke. Das Problem ist ja physikalisch: die Breite muss zwischen Null und Stammdicke liegen. Alles andere scheidet aus. Zum vollständigen Nachweis müsste man noch zeigen, dass die 2-te Ableitung für die gefundenen Lösung negativ (= Hochpunkt ) ist. |
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| 19.12.2013, 22:35 | da_zodelte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau da ist eben mein Problem: "die gefundene Lösung". Wie finde ich denn da die Lösung? Genau an diesem Punkt hänge ich eben gerade. Meiner Vorstellung nach ist die erste Ableitung eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 1/6d² nach oben (aufgrund der physikalischen Begrenzung, wie du mich darauf aufmerksam gemacht hast) verschoben ist. Aber da ich ja nicht weiß, bzw. ja wissen will, wie groß d ist, kann ich doch auch nicht die Nullstelle auf der positiven Seite von der ersten Ableitung rausbekommen!? Ein letzter Hinweis, dann ist's gelöst 
Vielen Dank für deine Geduld, Dopap. |
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| 19.12.2013, 23:06 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Null setzen , dann mal 6: und da gilt muss b zwischen Null und d liegen. |
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| 19.12.2013, 23:16 | da_zodelte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen lieben Dank. Da hast du mich jetzt aber von einem richtig dicken Ast runtergeholt. Somit Aufgabe gelöst! |
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| 19.12.2013, 23:24 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der Form halber noch das Maximum nachweisen, dann noch die Lösung in W(b,d) einsetztn... 
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