Diskriminante des Minimalpolynoms

17.12.2013, 11:25	pittersen	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskriminante des Minimalpolynoms Meine Frage: Hallo. Ich stehe etwas auf dem Schlauch. Ich möchte die Diskriminante eines Zahlkörpers K über Q betrachten. Angenommen, dass das Element alpha den Körper K über Q erzeugt. Stimmt nun die Diskriminante des Minimalpolynoms von alpha mit der Diskriminante der Körpererweiterung überein? Wie ist der Zusammenhang zwischen diesen Diskriminanten? Meine Ideen: Leider hab ich keien eigenen Ansatz als vorschlag. Ich hoffe, das nimmt mir niemand übel.
17.12.2013, 14:17	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskriminante des Minimalpolynoms Hallo pittersen, Soweit ich weiß gilt folgendes: Falls $\begin{eqnarray} \mathcal O_K = Z[\alpha] \end{eqnarray}$ , dann ist (für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} \Delta Z[\alpha] / Z = disk f \end{eqnarray}$ (LHS ergibt sich dann das Quadrat der Determinante einer Vandermondschen Matrix, wo Zeilenweise die Konjugierten von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ stehen, das ist aber gerade das Produkt über alle Differenzen der Konjugierten, i.e. die Diskriminante von f) Beachte, dass wir hier zusätzliche Forderungen an $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gestellt haben. Ich weiß nicht, wie es im allgemeinen Fall aussieht. lg kai

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