Kugeln ziehen aus 3 Urnen

17.12.2013, 15:01

Lula90

Kugeln ziehen aus 3 Urnen

Hey! Folgende Aufgabe:

3 Urnen $\begin{eqnarray*} U_1, U_2, U_3 \end{eqnarray*}$ enthalten gut durchmischt schwarze und weiße Kugeln.
$\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ enthält 2 schwarze und 4 weiße Kugeln.
$\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ enthält 3 schwarze und 5 weiße Kugeln.
$\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ enthält 1 schwarze und 3 weiße Kugeln.

a) Aus $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel weiß, die zweite schwarz und die dritte wieder weiß ist?

b) Nun wird zunächst eine der drei Urnen ausgewählt (jede mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ), aus der dann einmal gezogen wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert das eine weiße Kugel?

c) Wenn eine Ziehung wie in b) eine weiße Kugel liefert, mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde dann im ersten Schritt $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ gewählt?

So nun zu meiner Lösung/Idee:

a) $\begin{eqnarray*} \mathbb P (WSW)= \frac{3}{4} \cdot\frac{1}{4} \cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{64}\approx 0,1406 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \mathbb P (W)= \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{6} +\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{8} +\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}= \frac{4}{18}+\frac{5}{24}+\frac{3}{12}=\frac{49}{72}\approx 0,6806 \end{eqnarray*}$ Hier meine erste Frage: Insgesamt gibt es ja 18 Kugeln, davon 12 weiße, also $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ . Sollte mich dann das Ergebnis 0,6806 beruhigen oder beunruhigen? Big Laugh

c) Ja, hier weiß ich nicht so ganz, wie ich das berechnen soll. Kann mir da jemand helfen?

Dankeee!

17.12.2013, 15:42

Math1986

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RE: Kugeln ziehen aus 3 Urnen

Zitat:

Original von Lula90
a) $\begin{eqnarray*} \mathbb P (WSW)= \frac{3}{4} \cdot\frac{1}{4} \cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{64}\approx 0,1406 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Lula90
b) $\begin{eqnarray*} \mathbb P (W)= \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{6} +\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{8} +\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}= \frac{4}{18}+\frac{5}{24}+\frac{3}{12}=\frac{49}{72}\approx 0,6806 \end{eqnarray*}$ Hier meine erste Frage: Insgesamt gibt es ja 18 Kugeln, davon 12 weiße, also $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ . Sollte mich dann das Ergebnis 0,6806 beruhigen oder beunruhigen? Big Laugh

Das ist auch richtig soweit.

Zitat:

Original von Lula90
c) Ja, hier weiß ich nicht so ganz, wie ich das berechnen soll. Kann mir da jemand helfen?

Hier kommt der Satz von Bayes zum Tragen.

17.12.2013, 16:03

Lula90

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Ahh!
Dann ist mein Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{25}{81} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

17.12.2013, 16:06

Math1986

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Zitat:

Original von Lula90
Ahh!
Dann ist mein Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{25}{81} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

Poste mal den kompletten Rechenweg, ich habe die Lösung ja auch nicht bei mir.

17.12.2013, 16:19

Lula90

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Okay.

A= Kugel aus $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$
B= Kugel aus $\begin{eqnarray*} U_1+U_3 \end{eqnarray*}$
W= Kugel ist weiß

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(A) =\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(B)=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(W|A)= \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(W|B)= \frac{7}{10} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(W)=\mathbb P(W|A) \cdot \mathbb P(A)+\mathbb P(W|B)\cdot\mathbb P(B)= \frac{5}{8}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{40} \end{eqnarray*}$ (Hier habe ich mich etwas gewundert, da ich dachte, es müsste $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ rauskommen, da ja insgesamt 12 von 18 Kugeln weiß sind.)

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(A|W)= \frac{\mathbb P(W|A)\cdot \mathbb P(A)}{\mathbb P(W)}= \frac{\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{27}{40}}=\frac{25}{81} \end{eqnarray*}$

17.12.2013, 16:24

Math1986

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Du solltest $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ wirklich als separate Ereignisse betrachten. Bei P(W) hast du ja auch was anderes raus als in der Aufgabe vorher.

17.12.2013, 16:38

Lula90

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Okay.

A= Kugel aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$
B= Kugel aus $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$
C= Kugel aus $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$
W= Kugel ist weiß

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(A)=\mathbb P(B)=\mathbb P(C)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(W|A)= \frac{4}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(W|B)= \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(W|C)= \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(W)=\mathbb P(W|A) \cdot \mathbb P(A)+\mathbb P(W|B)\cdot\mathbb P(B)+\mathbb P(W|C) \cdot \mathbb P(C)= \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{5}{8}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{49}{72} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(A|W)= \frac{\mathbb P(W|B)\cdot \mathbb P(B)}{\mathbb P(W)}= \frac{\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{49}{72}}=\frac{15}{49} \end{eqnarray*}$

17.12.2013, 16:44

Math1986

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Ja dann stimmt das.

17.12.2013, 16:52

Lula90

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Dankee

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