Grenzwerte von Funktionen

17.12.2013, 16:41

Kimyaci

Grenzwerte von Funktionen

Ich soll, falls welche vorhanden sind, die Grenzwerte folgender Funktion bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Nun der erste Ausdruck sieht schon fast zu einfach aus, da würde ich jetzt ganz einfach;

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sqrt{x+2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

vermuten.

Der zweite Ausdruck sieht irgendwie verdächtig aus, ich bin mir sicher, dass ich so ähnliche Fälle schon mal gesehen habe. Wenn ich das ganz normal hinschreibe;

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{\infty + 0}{\infty + 0} = \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

Und das ist ja nicht definiert. Irgendwas sagt mir, dass ich hier L'Hospital verwenden muss;

$\begin{eqnarray*} (\lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}})' = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Ändert aber irgendwie nichts so richtig (oder ich leite falsch ab?). Bin in dem Thema noch nicht so bewandert, hoffe mir kann da jemand auf die Sprünge helfen.

17.12.2013, 16:43

Bjoern1982

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Beim zweiten Grenzwert drehst du dich mit L'Hospital im Kreis.
Probiere es mit Ausklammern.

17.12.2013, 16:56

Kimyaci

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RE: Grenzwerte von Funktionen
Ja hab ich auch gemerkt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{e^x ( 1- e^{-2x})}{e^{x}(1 + e^{-2x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{1- e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = \frac{1-0}{1+0} = 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?!

17.12.2013, 17:08

Bjoern1982

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Der Grenzwert 1 ist richtig, nur mit der Schreibweise 1+0 bzw 1-0 wär ich vorsichtig, es sei denn ihr habt da irgendeine Vereinbarung getroffen, dass ihr das so machen dürft.

17.12.2013, 17:10

Kimyaci

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Nein haben wir nicht, gut dann schreibe ich nur $\begin{eqnarray*} \frac 1 1 \end{eqnarray*}$ hin, danke! Wink

17.12.2013, 17:14

10001000Nick1

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@Björn: Wieso sollte man das nicht "dürfen"?
Oder will etwa irgendjemand behaupten, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1- e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} \neq \frac{1-0}{1+0}=1 \end{eqnarray*}$ ist? Augenzwinkern

Die Frage ist natürlich, ob diese Schreibweise Sinn macht. Aber falsch ist es jedenfalls nicht.

17.12.2013, 19:04

Kimyaci

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Nun ja den Grund für meine merkwürdige Schreibweise kann ich ja kurz erläutern. Normalerweise benutze ich eine "Einen Pfeil, dessen Pfeilspitze nach oben rechts zeigt" (und an der Pfeilspitze würde ich in diesem Fall die Zahl Null hinschreiben), jedoch scheint der dazugehörige Befehle dazu;

code:
1:	\cancelto{x}{0}

hier im matheboard irgendwie nicht zu funktionieren, habe auch schon nach anderen Befehlen gesucht, wurde aber nicht fündig. Um aber trotzdem anzudeuten, dass der Term $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert habe ich halt diese schnelle - wenn auch mathematisch nicht ganz korrekte - Schreibweise benutzt.

18.12.2013, 13:27

10001000Nick1

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Das ist mir schon klar, was du damit gemeint hast. Aber nochmal: Diese Schreibweise ist nicht falsch. Theoretisch wäre auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1- e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} =-e^{i\pi}= 1 \end{eqnarray*}$ richtig. (Wäre aber sehr sinnlos, das so hinzuschreiben; also lieber nicht machen Augenzwinkern

18.12.2013, 23:07

Kimyaci

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Okay.

Mein letzter Post sollte sich auch mehr auf den Latex-Befehl fokussieren, weiß da vielleicht jemand wie man das hier bei Latex darstellen kann (also den "Pfeil")?

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