Integralsatz von Gauß

17.12.2013, 20:06	Schreibtischlampe	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralsatz von Gauß Abend. Sei $\begin{eqnarray} x' \in \mathbb R^2, a,b>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_{a,b}(x')=\lbrace x\in \mathbb R^2: \|x_1-x'_1\| \leq a, \|x_2-x'_2\|\leq b\rbrace \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n(x) \end{eqnarray}$ der bis auf die Ecken definierte äußere Normalenvektor von $\begin{eqnarray} R_{a,b}(x') \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} \phi \in C^1(\mathbb R^2, \mathbb R) \end{eqnarray}$ . Man zeige: $\begin{eqnarray} \int_{\delta R_{a,b}(x')} \! \phi(x)n(x) \, dx =\int_{R_{a,b}(x')} \! \bigtriangledown \phi \, dx \end{eqnarray}$ . Als Hinweis habe ich gegeben, dass ich den Integralsatz von Gauß für $\begin{eqnarray} f(x)=y\phi(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ beliebig anwenden soll. Mein Ansatz ist dementsprechend: Ich verwende den Satz von Gauß in 2D. Dieser lautet: Sei $\begin{eqnarray} R=(a,b) \times (c,d) \end{eqnarray}$ ein Rechteck im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \in C^2(R,\mathbb R^2) \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int_R \! div(f) \, dx = \int_{\delta R} \! <f(x),n(x)> \, dS \end{eqnarray}$ Also haben wir, wenn wir dem Hinweis folgen: $\begin{eqnarray} \int_{R_{a,b}(x')} \! div(y\phi) \, dx = \int_{\delta R_{a,b}(x')} \! <y\phi(x),n(x)> \, dS \end{eqnarray}$ Nun fehlt mir allerdings leider jede Idee um weiterzukommen bzw. auf die Form der Behauptung zu kommen. Kann mir jemand helfen?
18.12.2013, 14:29	Schreibtischlampe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralsatz von Gauß Niemand eine Idee?

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