Probeklausur 2. Wendepunkte, Tangente

17.12.2013, 21:58

OpaHoppenstedt

Probeklausur 2. Wendepunkte, Tangente

Ich habe eine Probeklausur gerechnet. Es fehlen Musterlösungen.

Ich wäre dankbar, für Überprüfung meiner Ergebnisse.

Hier Aufgabe 2:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 4 x \cdot e^{-0,5 x^{2}} \end{eqnarray*}$

a)
Wendepunkte berechnen! Auf Prüfung mit 3. Ableitung darf verzichtet werden.

(1)

Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-0,5 x^2} \cdot (-4x^2 +4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{-0,5 x^2} \cdot (4x^2 -8x -4) \end{eqnarray*}$

(2)

Wendepunkte -> Nullstellen in 2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} 0 = e^{-0,5 x^2} \cdot (4x^2 -8x -4) \end{eqnarray*}$

-> Fallunterscheidung:

1.
$\begin{eqnarray*} 0 = e^{-0,5 x^2} \end{eqnarray*}$ -> keine Lösung

2.
$\begin{eqnarray*} 0 = 4x^2 -8x -4 | :4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 -2x -1 \end{eqnarray*}$

P-Q-Formel:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = 1 +- \sqrt{1^2 +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = 1 +- \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 1 - \sqrt{2} \approx -0,4142 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 1 + \sqrt{2} \approx 2,4142 \end{eqnarray*}$

(3)

Y-Koordinaten -> x1,2 in f(x) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f(-0,4142) \approx -1,5206 \end{eqnarray*}$ -> Wendepunkt 1 = ( -0,41 | -1,52 )

$\begin{eqnarray*} f(2,4142) \approx 0,5239 \end{eqnarray*}$ -> Wendepunkt 2 = (2,41 | 0,52 )

b)
Gleichung der Tangente in P = ( 1 | Yp) bestimmen!

(1)

x = 1 einsetzen in f(x):

-> P = ( 1 | 2,4261 )

(2)
m ermitteln! -> Xp = 1 einsetzen in 1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-0,5 \cdot 1^2} \cdot (-4 \cdot 1^2 +4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-0,5} \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

(3)
Xp, Yp und m einsetzen in Standard-Geradengleichung y = m * x + c, um c zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} 2,4261 = 0 \cdot 1 + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 2,4261 \end{eqnarray*}$

->

Gleichung der Tangente in P: $\begin{eqnarray*} y = 2,4261 \end{eqnarray*}$

17.12.2013, 22:18

Equester

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Ich bin nun im Bett, aber da ich die Sache schon angeschaut habe und den Fehler gesehen habe, erspare ich eventuell weiteren die Suche.

Die zweite Ableitung ist erneut zu tätigen. Sie ist falsch. Damit leider auch die komplett folgende Rechnung.

Wie gesagt, nur um die Suche zu ersparen: Es darf gerne wer anderes

gute Nacht Wink

17.12.2013, 22:54

OpaHoppenstedt

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Ich habe die 2. Ableitung nun noch 2 mal gemacht und finde momentan keinen Fehler.

17.12.2013, 23:24

Studi92

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Hallo OpaHoppenstedt,

der Fehler liegt bei deiner Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-0,5x^2} \end{eqnarray*}$ bei der Produktregel wahrscheinlich, denn dort bekommst du ja $\begin{eqnarray*} -x*e^{-0,5x^2} \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist das etwas untergegangen. Wink

Wir sind ja dazu angehalten keine vollständigen Lösungen anzugeben, du findest es aber sicher selber schnell.

Gruß

17.12.2013, 23:33

OpaHoppenstedt

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Zitat:

Original von Studi92
Hallo OpaHoppenstedt,

der Fehler liegt bei deiner Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-0,5x^2} \end{eqnarray*}$ bei der Produktregel wahrscheinlich, denn dort bekommst du ja $\begin{eqnarray*} -x*e^{-0,5x^2} \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist das etwas untergegangen. Wink

Wir sind ja dazu angehalten keine vollständigen Lösungen anzugeben, du findest es aber sicher selber schnell.

Gruß

Ja, danke. Da habe ich vorschnell -1 hingeschrieben auf meinem Blatt und x^1 einfach weg gelassen. Aufmerksamkeitsfehler.

17.12.2013, 23:34

OpaHoppenstedt

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Ist denn der Rechenweg ansonsten richtig?

In einer Realklausur kann ich ja nicht nachbessern, bekomme aber ggflls. Teilpunkte.

17.12.2013, 23:41

Studi92

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Ich bin leider schon zu müde, um das ganz sicher sagen zu können, aber grundsätzlich sieht das ganz gut aus.

Da wird Equester dir morgen sicher konkreter etwas zu sagen können. Augenzwinkern

In diesem Sinne:
Gute Nacht! Freude

18.12.2013, 07:26

Equester

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Die Werte selbst habe ich im folgenden nicht mehr kontrolliert.
Der Rechenweg selbst ist aber völlig korrekt.

Einzig vermisse ich beim Wendepunkt die Kontrolle mit der dritten Ableitung. Man sollte es zumindest hinschreiben Augenzwinkern

18.12.2013, 09:34

OpaHoppenstedt

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Zitat:

Original von Equester
Die Werte selbst habe ich im folgenden nicht mehr kontrolliert.
Der Rechenweg selbst ist aber völlig korrekt.

Einzig vermisse ich beim Wendepunkt die Kontrolle mit der dritten Ableitung. Man sollte es zumindest hinschreiben Augenzwinkern

OK. Danke. Die Prüfung mit der 3. Ableitung wurde in der Klausur ausdrücklich erlassen. Da die Zeit sehr knapp ist für das Pensum, kann ich nichts machen, was nicht unbedingt sein muss.
Ich habe 91 Minuten gebraucht. Das ist alles auf Kante genäht.

18.12.2013, 10:10

Equester

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Gut, wenn es ausdrücklich erlaubt ist das nicht zu zeigen, hat alles seine Ordnung.
Viel Spaß beim Weiterüben.

Gerne,
Wink

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