Probeklausur 3. Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte

17.12.2013, 22:50

OpaHoppenstedt

Probeklausur 3. Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte

Ich habe eine Probeklausur gerechnet. Es fehlen Musterlösungen.

Ich wäre dankbar, für Überprüfung meiner Ergebnisse.

Hier Aufgabe 3:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (-x^2 +2x) \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

a)
Bestimmen der Nullstellen und Extrempunkte:

(1)
Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{x} \cdot (-x^2 + 2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{x} \cdot (-x^2 - 2x + 2) \end{eqnarray*}$

(2)
Nullstellen finden -> f(x) = 0 setzen:

$\begin{eqnarray*} 0 = (-x^2 +2x) \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

-> Fallunterscheidung:

1.
$\begin{eqnarray*} 0 = e^{x} \end{eqnarray*}$ -> keine Lösung

2.
$\begin{eqnarray*} 0 = -x^2 +2x | \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x \cdot (x - 2) \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 2 \end{eqnarray*}$

Nullstellen bei x=0 und x=2

(3)
Extrempunkte finden! -> 1. Ableitung = 0 setzen:

$\begin{eqnarray*} 0 = e^{x} \cdot (-x^2 + 2) \end{eqnarray*}$

-> Fallunterscheidung:

1.
$\begin{eqnarray*} 0 = e^{x} \end{eqnarray*}$ -> keine Lösung

2.

$\begin{eqnarray*} 0 = -x^2 + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2 \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} x_1 = -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = +\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

(4)
Hochpunkt oder Tiefpunkt:

Überspringe ich hier.

(5)
Y-Koodinaten -> x1, x2 einsetzen in f(x):

$\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{2}) = (-(-\sqrt{2})^2 +2 \cdot (-\sqrt{2})) \cdot e^{-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (- 2 - 2 \cdot \sqrt{2}) \cdot e^{-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \frac{4,8284}{e^{1,4142}} \approx -1,1739 \end{eqnarray*}$ -> Tiefpunkt = ( -1,41 | -1,17 )

$\begin{eqnarray*} f( \sqrt{2} ) = (- ( \sqrt{2} )^2 + 2 \cdot \sqrt{2} ) \cdot e^{ \sqrt{2} } \approx \frac{0,8284}{e^{1,4142}} \approx 0,2014 \end{eqnarray*}$ -> Hochpunkt = ( 1,41 | 0,20 )

-> das ist ein Fehler, wie ich gerade sehe:

Es müsste so sein:

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{2}) = (-(\sqrt{2})^2 +2 \cdot \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}} \approx 0,8284 \cdot e^{1,4142} \approx 3,4073 \end{eqnarray*}$ -> Hochpunkt = ( 1,41 | 3,41 )

Ja/Nein?

b)
Wertetabelle und Skizze anfertigen und davon auf die Anzahl der Wendestellen schließen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (-x^2 +2x) \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-10) = (-(-10)^2 +2 \cdot (-10)) \cdot e^{-10} = \frac{120}{e^{10}} \approx -22026,46 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-5) = (-(-5)^2 +2 \cdot (-5)) \cdot e^{-5} = \frac{35}{e^{5}} \approx -0,2358 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3) = (-3^2 +2 \cdot 3) \cdot e^{3} = -3 \cdot e^{3} \approx -60,2566 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(5) = (-5^2 +2 \cdot 5) \cdot e^{5} = -15 \cdot e^{5} \approx -2226,19 \end{eqnarray*}$

Die Skizze kann lasse ich jetzt mal bleiben an dieser Stelle.
Ich bin anhand der Skizze zu dem Schluss gelangt, dass es 2 Wendepunkte gibt, da es auch 2 mal einen Wechsel von einem Hochpunkt zu einem Tiefpunkt und von den Tiefpunkt wieder zum 2. Hochpunkt gibt.

18.12.2013, 00:02

Count von Count

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RE: Probeklausur 3. Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte
Hallo,
hab 'mal alles nachgerechnet und nur einen winzigen Rechenfehler im Teil b gefunden: f(-10) ist -0,0054 (naja, ist kein Drama, kann passieren. Einmal mit dem Finger auf der Tastatur verrutscht, und zack, liegt man um 6 Zehnerpotenzen daneben). Ach ja, und es gibt tatsächlich nur EINEN Hochpunkt, trotzdem liegst Du mit Deiner Vermutung von zwei Wendepunkten richtig.

Eine Frage zu Teil b: Warum suchst Du mit der Tabelle nach Wendepunkten? Kennst Du noch nicht den Trick mit der zweiten Ableitung (f''(x)=0)?

18.12.2013, 09:37

OpaHoppenstedt

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RE: Probeklausur 3. Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte

Zitat:

Original von Count von Count
Hallo,
hab 'mal alles nachgerechnet und nur einen winzigen Rechenfehler im Teil b gefunden: f(-10) ist -0,0054 (naja, ist kein Drama, kann passieren. Einmal mit dem Finger auf der Tastatur verrutscht, und zack, liegt man um 6 Zehnerpotenzen daneben). Ach ja, und es gibt tatsächlich nur EINEN Hochpunkt, trotzdem liegst Du mit Deiner Vermutung von zwei Wendepunkten richtig.

Ich hatte auch im Bett liegend gedacht, dass das nicht sein kann mit dem 2. Hochpunkt: Den hätte man ja finden müssen, wenn man f`(x)=0 setzt.

Zitat:

Original von Count von Count
Eine Frage zu Teil b: Warum suchst Du mit der Tabelle nach Wendepunkten? Kennst Du noch nicht den Trick mit der zweiten Ableitung (f''(x)=0)?

Das war so in der Aufgabenstellung verlangt. So etwas finde ich auch "doof", aber wenn es der Lehrer so haben möchte...

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